球的体积公式推导过程-球体积公式积分推导过程

今天给大家分享一下关于球的体积公式推导过程的问题——球的体积公式的积分推导过程。以下是这个问题的总结。让我们来看看。

球的体积公式的推导过程是怎样的？

球形体积公式的推导过程:V = 4/3× π r 3。

要证明v = 4/3× π r 3，我们可以证明1/2v = 2/3× π r 3。

做一个半球h=r，一个圆柱体h = r。

V柱-V锥= π× r 3-π× r 3/3 = 2/3 π× r 3。

如果猜想成立，那么V柱-V锥=V半球。

根据祖原理，夹在两个平行平面之间的两个三维图形，被平行于这两个平面的任意平面所切割。如果得到的两个横截面积相等，则两个三维图形的体积相等。

如果猜想成立，两个平面:S1(圆)=S2(环)。

体积的单位转换:

1、1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061立方英寸。

2.1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061立方英寸。

3.1立方米= 1000立方分米= 100000立方厘米= 1000000立方毫米=0.353立方英尺=1.3079立方码。

4.1立方英寸=0.016387立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米。

5.1立方英尺=28.3立方分米= 28300立方厘米= 28300000立方毫米。

6.1立方码=27立方英尺=0.7646立方米=164.6立方分米= 164600立方厘米= 164600000立方毫米。

7.1立方英尺= 31.143蒲式耳(英制)= 32.143蒲式耳(美制)。

8.1加仑(美国)= 0.00354118立方米= 0.844845加仑(英国)。

球体体积公式的推导过程

不论怎么推导，都需要用到极限的思想，可能需要到高二学极限的时候能讲到。如果不用极限，则需要用到高等数学微积分知识。

1.如果已知一个球体的表面积为S = 4 π r，我们可以这样想:假设球体由无数个非常细的圆锥体组成，球体的体积是所有圆锥体的体积之和。假设再细分成n个这样的圆锥体，当n趋近于无穷大时，如果每个圆锥体的底面积为S，那么NS就是球体的表面积，圆锥体的高度近似为半径r，那么圆锥体的体积为SR/3。加起来，整个球的体积是NSR/3，NS是球的表面积。所以球的体积等于球的表面积乘以R/3。因为球的表面积是4 π r，所以球的体积是4 π r/3。

2.如果你不知道球体表面积，可以这样做：假设把球分割成很N多个半径从小到大圆形的薄片，当N趋近无限大时，每个薄片的体积加和就是个半球的体积。假设球的半径为R，先看其中一个第i层的薄片（从上半球底部向顶部数），它的底面半径可以用勾股定理求出ri=√{R²-[(i-1)·R/n]²}

(i=1，2，3...n)，这层薄膜的体积约为VI ≈πri (r/n) = (π r/n) [1-(I-1)/n]，

(i=1,2,3...n)

半球体积V/2=

ΣVi

=

V1+V2+V3+...+Vn

(i=1，2，3...n)，

(i=1,2,3...n)

=(πR/n){ 1+[1-1/n]+[1-2/n]+[1-3/n]+...+[1-(1-n) /n ]}

,

(i=1，2，3...n)

=(πR³/n)·{n-[(1²+2²+3²+...+n²)/n)]²} ,

(i=1，2，3...n)

注意：(1²+2²+3²+...+n²)/n=1/6·n·(n+1)·(2n+1)

=(πR/n){ n-(1/n)[n(n-1)(2n-1)/6]}

,

(i=1，2，3...n)

=πR³[1-(n-1)(2n-1)/6n²]

,

(i=1,2,3...n)

=πR [1-(1-1/n)(2-1/n)/6n]

,

(i=1，2，3...n)

当n趋向于无限大时，1/n趋向于0

所以当n趋于无穷大时，半球体积

V/2=2πR³/3

球体体积v = 4 π r/3

如果不知道球的表面积，可以用这个结论按照方式1反过来去推导球的表面积。

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