面面垂直怎么证明-证明面面垂直需要几个条件

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如何证明面面垂直？

定义:如果两个平面的二面角是直二面角(平面角是直角的二面角)，则两个平面互相垂直。

定理

如果一个平面与另一个平面的垂线相交，则这两个平面相互垂直。

几何描述:如果a⊥β，α，那么α ⊥β.

证明了任意两个平面相交或平行的关系，设a⊥β和垂足为p，则P∈β。

∵a⊂α,P∈a

∴P∈α

即α和β有一个公共点p，所以α和β相交。

设α∪β= b，且∵P是α和β的公共点。

∴P∈b

使c⊥b在p后β以内

∵b⊂β,a⊥β

∴a⊥b，竖脚是p

C⊥b，竖脚是p

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角。

∵c⊂β

∴a⊥c，即∠ APC = 90。

根据垂直面的定义，α ⊥ β

推论1

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。

知道α⊥a，a∧β，证明α ⊥ β。

证明了平面γ与β任意相交于A，交线为c。

∫a∫β

∴a∥c(线平面平行性的性质定理)

∵a⊥α

∴c⊥α(垂直线与平面的性质定理)

∵c⊂β

∴ β⊥ α(定理1)

推论2

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。(可以理解为垂直于法向量的平面是互相垂直的)

证明有a⊥α，b⊥β，和一个⊥ b

然后根据平行线与平面的判定定理，有一个∧β。

∵a⊥α

∴ α⊥ β(推论1)

这些定理和推论是向量法解题的基础。例如，如果一个平面的法向量平行于另一个平面，那么这两个平面就是垂直的。

三个成对垂直平面的相交是成对垂直的。

已知α ⊥ β，β ⊥ γ，γ ⊥ α，以及α∪β= a，β∪γ= b，γ∪α= c

核实:a⊥b、a⊥c、b⊥c

证明:√α∪β= a，α ⊥ γ，β ⊥ γ

∴a⊥γ(定理3)

∵b⊂γ,c⊂γ

∴a⊥b,a⊥c

这同样适用于b .⊥c

怎么证明面面垂直

垂直面的证明方法:

线平面垂直于平面平面，直线A垂直于平面1，直线A平行于或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2。平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2。通过两个平面的夹角，如果两个平面的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的。

平面的垂直性质定理；

定理1:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面中垂直于它们的交点的直线与另一个平面垂直。

定理2:如果两个平面互相垂直，那么通过第一平面中一点垂直于第二平面的直线在第一平面中。

定理3:如果两个相交的平面垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

推论:三个两两垂直平面的交线是两两垂直的。

定理4:如果两个平面互相垂直，则一个平面的垂线平行于另一个平面。(判定定理推论1的逆定理)。

推论:如果两个平面互相垂直，那么垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。(判定定理推论2的逆定理)。

推论:

推论1:如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么两个平面互相垂直。

推论二:如果两个平面的垂线互相垂直，那么两个平面互相垂直。(可以理解为垂直于法向量的平面互相垂直)。

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