三角形面积（面积公式大全）

三角形面积(完全面积公式)原创2021-06-09 07: 25 DA2

如题。

第一反应的命题是假的。因为最简单的思想，著名的“海伦公式”，面积是通过三角形三条边的长度来计算的，即:

公式中，a、b、c是三角形三条边的长度，P是三角形周长的一半，S是三角形的面积。很明显，虽然这里确定了S和2p，得到了关于A，B，C的两个方程，但是未知数是3，那么一般来说，解不是唯一的。

当然，要证明一个命题是假的，只需要找到反例就可以了。从课本和网上不难找到现成的反例，比如下面两组反例:

[1]两个边分别为[17，25，28]和[20，21，29]的三角形。

[2]两个边长分别为[4，11，11]和[7，7，12]的三角形。

虽然对于一个真假问题，一个反例就能看出对错。但本着望敌从宽的思路，万一下一个题目改成:给定一个三角形，求一个周长和面积与这个三角形相同但不相等的三角形。上面的反例没用。下一步是研究这个问题:

当然，如果有这样的三角形，那就有无穷多个，三角形就是一个解集。还是从海伦公式出发，两个方程，三个未知数(三条边的长度)。因此，一边长是自由变量，即可以在合理的范围内自由取值。

所谓合理性是指那些简单的几何条件，比如:三角形的边长是正实数，三角形任一边的长度小于周长P的一半(否则三边不能构成三角形)。选取一边作为自由变量后，三角形的另外两边用两个方程约束，就可以得到一个确定的表达式。

综上所述，给定三角形A的周长2p和面积s以及三角形B的一条边的长度在合理的范围内确定，就可以得到三角形B的另外两条边的表达式。这样就得到了三角形B的形式解。

所谓形式解，就是解的合理性还需要验证。因为的表达式往往包含一个根，如果根中的值是一个负实数，开根就会得到一个有虚部的复数。这个结果是不合理的，因为一个平面图的空是空，在这个空区间内不能标有虚部的复数。如果得到这样的结果，表明该值不合理，需要重新选择。

如果解通过合理性验证，将得到一个合理的三角形B。

上述方法被组织成以下计算过程:

[1]首先给出一个三角形(三角形A)，即三角形的三条边的长度:

计算A的半周长和面积(用海伦公式):

[2]然后对于要求解的三角形B，给出一边的长度:

计算出B的半周长和面积(用海伦公式):

其中，由于半周长相等，这里用A的半周长来计算面积，这样表达式中会出现尽可能多的已知数据，有利于方程的后续求解。

[3]解方程:

根据已知条件，得到方程{}，选取其中的未知数，从而可以求出未知数的解析表达式。解这个方程组的过程比较复杂，这里直接写结果(做完之后):

结果:是给定三角形A的三条边的长度；p是周长的一半；待定三角形b的第一边的长度。

如有必要，m的取值范围可由下面的不等式组求出:

(1)如果结果是实数，那么:(这个不等式不好解)

(2)如果边长为正，则:m>0

(3) 三角形边长小于半周长,则: m

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