微分形式（几何化思维下的三角函数微分形式）

微分形式(几何思维下三角函数的微分形式)

三角函数的微分形式都是从纯分析的角度得到的，逻辑严谨，但缺乏直观性。从而从几何的角度得到三角函数的直观微分形式。

提起三角函数，首先想到的就是圆，其中单位圆的应用最为广泛。首先我们来看一个单位圆，它的方程是x ^ 2+y ^ 2 = 1。

那么它的x坐标是cos θ，y坐标是sinθ。

如果我们逆时针增加单位圆的旋转半径一个微小的角度δθ，那么Y坐标也增加一个微小的长度δY，如下图所示。

根据你初高中的知识，一个圆的弧长=半径x旋转角度。

所以在单位圆上旋转一个微小的δ θ后，增加的微小弧长就是δ θ，如下图所示。

为了更好的观察，我们把它移出来吧。当δθ趋于0时，下图中δθ对应的弧长是一条直线，这也是一个无穷小的概念，所以深色阴影部分是一个微小的直角三角形。

我们已经知道，当δθ趋于0时，δθ对应的弧长是一条直线，因为直线是由弧长退化而来，弧长与直线不断接近并最终重合，所以这条直线就是圆的切线。既然是切线，根据你的三角学知识，有以下两个相等的α角。

我们继续，当δ θ在整个单位圆内趋于0时，既然弧长演化为该点的切线，那么下面两个三角形一定是相似的，这就很好理解了。

所以根据你的微分知识，δθ= dθ，δy = dy，因为y=sinθ，而且这两个三角形相似，所以得出dsinθ/dθ=δy/δθ= x/1 = cosθ。

这是由视觉几何关系导出的三角函数的导数形式。对cosθ的导数也可以这样做，有兴趣的小伙伴可以试试。

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