自然数包括0吗(最小的自然数是0还是1)

按照现在的中小学教材，自然数包括零。

其实在历史上，自然数包不含0，一直有两种不同的观点。

1.意大利数学家G·皮亚诺提出的序数理论，他总结了自然数的性质，并用公理化的方法给出了自然数的定义:自然数集N是指满足下列条件的集合

n中有一个元素标记为1。

n中的每个元素都能找到n中的一个元素作为它的后继；

是0的继任者。

0不是任何元素的后续元素。

不同的元素有不同的继承者。

N的任意子集M，如果1属于M，并且只要X在M中，就可以推导出X的后继也在M中，那么M = N .我们看到他的理论把0排除在自然数之外。其实从人类发展的历史来看，0不在自然数的范围内是合理的。从头开始，依次数，一个一个，有23456个等等。建国以来，国内教材使用的自然数不含0；可能80后这一代印象比较深；

2基数论把0归为自然数的范畴，因为从集合论的角度来看，把0作为空集合的基数，这样所有有限集的基数都可以用自然数来描述。

目前，世界上大多数国家都将0包含在自然数集中。为方便国际交流，我国在1993年制定的新标准中，也将0纳入自然数集。

特别是因为小学“除法”教学中引入了0，有一些不太严谨的部分，一般都是模糊处理，没有引导学生注意这些问题；

后面是国内数学教材中关于0的一些规定，一般体现自然数、整除、倍数和因子、偶数等的定义。

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