圆周率公式(有哪些计算圆周率的神奇公式?)
说到圆周率,很多人想到的是祖冲之的父亲圆周率。
说实话,祖先生也挺无奈的。他从我们小学就开始剪圈子,一直剪到大学。
但是切圆只适合手工计算。如何用计算机计算π?
泰勒展开
泰勒展开在科学计算中有着不可思议的变态力量。
我之前有一篇文章。泰勒为什么要扩大它?泰勒公式有什么神奇的作用?介绍了什么是泰勒展开式,可以将复杂函数转化为加减乘除,如sinx:
之所以这样膨胀,是因为通用计算机本质上只能计算加减乘除。
用泰勒展开计算π
首先想到的是,根据定义,反三角函数是:
所以,下一个问题是,
如何计算反正切(1)
有人说不如直接调用C语言库函数atan(double,double)。
诚然,这样可以完成计算,然而,这是一种冒犯行为,就好像我问马拉松怎么跑完,你说你开车走完了。
库是别人写的。现在考虑的是怎么算,而不是怎么叫。
在这一点上,我们不得不要求祖先公式,并进行arctan(x)的泰勒展开:
然后,设x = 1,得到:
格雷戈里-莱布尼茨公式
它被称为莱布尼茨级数,也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数,以纪念莱布尼茨的当代天文学家和数学家詹姆斯·格雷戈里。
看起来很吊,不是吗?
啊,但是,这还不够,因为问题还没有结束:
这个级数收敛很慢。
比如计算+4/9,也就是前五项,结果只有3.3396,误差0.2。
直到计数到500,000个项目,它才精确到小数点后五位:
连电脑都太累了。
更何况莱布尼茨(1646年7月1日-1716年11月14日)当年还没有电脑呢!
加速收敛
所以,人们试图改进,希望能快速计算。
1706年,英国数学家梅钦利用上述级数发现了一个可以快速收敛的公式:
利用上面的arctan(x) Taylor展开式,Mechin根据这个公式(不用计算机)计算圆周率到小数点后一百位以上。
英国数学家威廉·沙克尔斯花了15年时间计算到小数点后707位,但他在小数点后第528位出错,所以剩下的都是不正确的。
这只是一个小小的悲剧。
神奇公式
有了现代计算机,我们希望更快的收敛,所以科学家们正在寻找新的系列。
历史总是留给吊死的人,总会产生一些吊死的人。
例如:
拉玛努金公式
这个东西叫拉玛努金公式,是印度科学家拉玛努金发明的。
第一个用拉玛努金公式计算π取得进展的人是比尔·戈斯帕,他在1985年计算了1700万个小数位。
收敛快一点?和楚·德诺夫斯基公式:
楚-德诺夫斯基公式
1989年,楚·德诺夫斯基兄弟数出了小数点后10亿(10)位数,2009年法布里斯·贝拉数出了2700亿(2.7× 10)位数,2011年亚力山大·伊和近藤子数出了1万亿(10)位数。
不奇怪,不奇怪,
没有什么是无聊的...
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