圆周率公式(有哪些计算圆周率的神奇公式？)

说起圆周率，很多人会想到祖冲之父亲的切圆术。

说实话，祖先生也挺无奈的。他从我们小学就开始剪圈子，一直剪到大学。

但是切圆只适合手工计算。如何用计算机计算π？

泰勒展开

泰勒展开在科学计算中有着不可思议的变态力量。

我之前有一篇文章。泰勒为什么要扩大它？泰勒公式有什么神奇的作用？介绍了什么是泰勒展开式，可以将复杂函数转化为加减乘除，如sinx:

之所以这样膨胀，是因为通用计算机本质上只能计算加减乘除。

用泰勒展开计算π

首先想到的是，根据定义，反三角函数是:

所以，下一个问题是，

如何计算反正切(1)

有人说不如直接调用C语言库函数atan(double，double)。

诚然，这样可以完成计算，然而，这是一种冒犯行为，就好像我问马拉松怎么跑完，你说你开车走完了。

库是别人写的。现在考虑的是怎么算，而不是怎么叫。

在这一点上，我们不得不要求祖先公式，并进行arctan(x)的泰勒展开:

然后，设x = 1，得到:

格雷戈里-莱布尼茨公式

它被称为莱布尼茨级数，也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数，以纪念莱布尼茨的当代天文学家和数学家詹姆斯·格雷戈里。

看起来很吊，不是吗？

啊，但是，这还不够，因为问题还没有结束:

这个级数收敛很慢。

比如计算+4/9，也就是前五项，结果只有3.3396，误差0.2。

直到计数到500，000个项目，它才精确到小数点后五位:

连电脑都太累了。

更何况莱布尼茨(1646年7月1日-1716年11月14日)当年还没有电脑呢！

加速收敛

所以，人们试图改进，希望能快速计算。

1706年，英国数学家梅钦利用上述级数发现了一个可以快速收敛的公式:

利用上面的arctan(x) Taylor展开式，Mechin根据这个公式(不用计算机)计算圆周率到小数点后一百位以上。

英国数学家威廉·沙克尔斯花了15年时间计算到小数点后707位，但他在小数点后第528位出错，所以剩下的都是不正确的。

这只是一个小小的悲剧。

神奇公式

有了现代计算机，我们希望更快的收敛，所以科学家们正在寻找新的系列。

历史总是留给吊死的人，总会产生一些吊死的人。

例如:

拉玛努金公式

这个东西叫拉玛努金公式，是印度科学家拉玛努金发明的。

第一个用拉玛努金公式计算π取得进展的人是比尔·戈斯帕，他在1985年计算了1700万个小数位。

收敛快一点？和楚·德诺夫斯基公式:

楚-德诺夫斯基公式

1989年，楚·德诺夫斯基兄弟数出了小数点后10亿(10)位数，2009年法布里斯·贝拉数出了2700亿(2.7× 10)位数，2011年亚力山大·伊和近藤子数出了1万亿(10)位数。

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