我们知道,如果x1,x2是二次方程ax ^ 2+bx+c = 0的两个根,那么
x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
这就是维耶塔定理,也就是所谓的根与系数的关系。
维耶塔定理来源于求根公式。只需要将求根公式得到的两个根相加相乘,然后化简即可。
维耶塔定理最佳文献社百科,用于解决两个已知关系的字母系数的求法问题。很少有人想到维耶塔定理也可以解方程。
比如,已知x=2是方程x 2+x+k 2-3k-7 = 0的一个根,另一个根是。
解析:很多人认为这个问题是根据根的定义将x=2代入方程,得到
4+2+ k^2-3k-7=0,
结束得到k 2-3k-1 = 0,
接下来不够聪明的同学做的就是解这个方程,得到k的值,然后代入。已知的等式是:
x^2+x-6=0……
比较聪明学生的方法是:k 2-3k-1 = 0,所以:
k^2-3k=1,
直接代入方程得到:
x^2+x-6=0……
但是,不管聪明不聪明,还是要把方程x 2+x-6 = 0再解一遍,这样另一个根就是x =-3。
而从维耶塔定理出发,设另一根是M,那么方程的两个根分别是2和M,
由维耶塔定理中两个根之间的关系,我们可以得到:
2+m=-1,m=-3。
所以,另一个是x=-3。
看看下面的例子:
例1已知x=3是等式x 2+(2k-1) x+6 = 0的一个根。求另一个根和k的值.
解法:设另一根是M,那么方程的两个根分别是3和M,
所以3m=6,m=2,
所以3+2=-(2k-1),k=-2。
所以另一个等式是2,k的值是-2。
例2解方程:3x2-7x+4 = 0。
解析:关家文社可以查方程系数3,-7,4,它们的和为0。
也就是说,当x=1时,等式的左边等于右边,
所以x=1是方程的根,
设另一个根是n,那么
1n=4/3,n=4/3。
所以x1=1,x2=4/3。
例3解方程:2x 2+3x+1 = 0。
解法:很容易知道,当x=-1时,方程左边=2-3+1=0=右边,
所以x=-1是方程的一个根,设另一个根是n,那么
-1n=1/2,n=-1/2。
所以方程的根是x1=-1,x2=-1/2。
4以a≠b为例,求解关于x的方程:
(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0.
解法:很容易知道x=1满足方程,所以其中一个方程是x=1,
设另一个根是n,那么
1n=(c-a)/(a-b),n=(c-a)/(a-b)。
方程的根是x1=1,x2 = (c-a)/(a-b)。
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