正交矩阵（正交矩阵的性质）

今天给大家分享一个关于正交矩阵的问题(正交矩阵的性质)。以下是边肖对这个问题的总结。让我们来看看。

一、什么是正交矩阵

什么是正交矩阵如下:

定义

编辑和广播

如果:AAT=E(E是单位矩阵，AT代表“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E，则称n阶实矩阵A为正交矩阵，若A为正交矩阵，满足以下条件[2][3]:

1)AT是正交矩阵。

2)(E是单位矩阵)

3)3)AT的每一行是一个单位向量，并且彼此正交。

4)4)AT的列是单位向量，并且彼此正交。

5)(Ax，Ay)=(x，y)x，y∈R

6)|A|=1或-1

7)

8)正交矩阵通常用字母q表示。

(9)例如:

如果A =[r11r 12 r 13；r 21 r 22 r 23；R31r32r33]，有:

定理

在矩阵理论中，实正交矩阵是方阵Q，其转置矩阵是其逆矩阵。如果正交矩阵的行列式为+1，则称为特殊正交矩阵。

1.方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组；

2.方阵A正交的充要条件是A的N个行(列)向量是N维向量之间的一组标准正交基空；

3.A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组正交且都是单位向量；

4.a的列向量组也是正交单位向量组。

5.正交方阵是Euclid 空中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

二。

三、什么是正交矩阵

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵[1]。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

扩展资料
定义
如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件[2] [3] :
1)AT是正交矩阵
2)（E为单位矩阵）
3)AT的各行是单位向量且两两正交
4)AT的各列是单位向量且两两正交
5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
6)|A|=1或-1
7)
8)正交矩阵通常用字母Q表示。
(9)举例：
若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，则有：

定理
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4.A的列向量组也是正交单位向量组。
5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵[4] 。

四、什么是正交矩阵

正交矩阵是方阵，行向量和列向量是正交单位向量。

线矢量都是正交单位矢量。任意两条线正交意味着两条线点乘的结果是0，因为是单位向量，所以任意线点乘的结果是1。

对于一个3×3的正交矩阵，每一行都是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义是两个向量互相垂直。

所以3×3正交矩阵的三行可以理解为3D坐标系中的三个坐标轴，下面是3×3正交矩阵m，

X1，x2，x3，//x轴y1，y2，y3，//y轴z1，z2，z3，//z轴。

单位矩阵表示的三个坐标轴是笛卡尔坐标系中的X、Y、Z轴:

1，0，0，//X轴0，1，0，//Y轴0，0，1，//Z轴

向量乘以3×3正交矩阵的几何意义是将这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所代表的坐标系，比如下面的矩阵M1。

0,1,0,1,0,0,0,0,1,

一个向量(1，2，3)右乘这个矩阵M1得到一个新的向量(2，1，3)，就是把原来的向量从原来的坐标系变换到一个新的坐标系。

新坐标系的x轴在原坐标系中为(0，1，0)，即落在原坐标系的y轴上。

新坐标系是切换原坐标系的X轴和Y轴，所以正交矩阵M1作用于向量(1，2，3)，切换向量的X和Y分量。

正交矩阵的定义“行向量和列向量是正交单位向量”带来了另一个好处:正交矩阵的转置是正交矩阵的逆矩阵，比求普通矩阵的逆矩阵简单得多。

让我们解释为什么正交矩阵的转置是正交矩阵的逆:

或者开头提到的正交矩阵m:

x1，x2，x3，//rowxy1，y2，y3，//rowyz1，z2，z3，//rowz

每一行都是单位长度的向量，所以每一行乘以自身的结果是1。

任意两行正交，即两行点乘的结果为0。

矩阵m的转置矩阵MT是:

x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，

将两个矩阵相乘Mmul=M*MT * mt:

rowx*rowx，rowx*rowy，rowy*rowx，rowy*rowy，rowy * rowy，rowy*rowz，rowz*rowx，rowz*rowy，rowz*rowz，

自身点乘的结果是1，其他行点乘的结果是0，所以Mmul等于单位矩阵。

1,0,0,0,1,0,0,0,1,

逆矩阵的定义是逆矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，所以，

正交矩阵的转置是正交矩阵的逆。

扩展数据

正交矩阵定义:

如果aa’= e(e为单位矩阵，A’代表“矩阵A的转置矩阵”)或A’A = e，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。如果A是单位正交矩阵，则满足以下条件:1)A是正交矩阵。

判断是否为正交矩阵的方法；

一般通过定义来验证。如果AA\' = I，A是正交矩阵，即验证每一行(或列)向量的模是否为1
，任意两行(或列)的内积是否为0。

以上是边肖对正交矩阵(正交矩阵的性质)及相关问题的回答。希望正交矩阵的问题(正交矩阵的性质)对你有用！

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