傅里叶级数（傅里叶级数展开公式）

今天和大家分享一个关于傅立叶级数(傅立叶级数展开式)的问题。以下是边肖对这个问题的总结。让我们来看看。

1。什么是傅立叶级数？

傅里叶级数

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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傅里叶级数的公式
给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

x(t)=\\sum _{k=-\\infty}^{+\\infty}a_k\\cdot e^{jk(\\frac{2\\pi})t}（j为虚数单位）（1）

其中，a_k可以按下式计算：

a_k=\\frac\\int_x(t)\\cdot e^{-jk(\\frac{2\\pi})t}（2）

注意到f_k(t)=e^{jk(\\frac{2\\pi})t}是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=\\pm 1时具有基波频率\\omega_0=\\frac{2\\pi}，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；
在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

\\int _^{2\\pi}\\sin (nx)\\cos (mx) \\,dx=0;

\\int _^{2\\pi}\\sin (mx)\\sin (mx) \\,dx=0;(m\\ne n)

\\int _^{2\\pi}\\cos (mx)\\cos (mx) \\,dx=0;(m\\ne n)

\\int _^{2\\pi}\\sin (nx)\\sin (nx) \\,dx=\\pi;

\\int _^{2\\pi}\\cos (nx)\\cos (nx) \\,dx=\\pi;

奇函数和偶函数
奇函数f_o(x)可以表示为正弦级数，而偶函数f_e(x)则可以表示成余弦级数：

f_o(x) = \\sum _{-\\infty}^{+\\infty}b_k \\sin(kx);

f_e(x) = \\frac+\\sum _{-\\infty}^{+\\infty}a_k\\cos(kx); 只要注意到欧拉公式: e^{j\\theta}= \\sin \\theta+j\\cos \\theta，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数
任何正交函数系\\{ \\phi(x)\\}，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：

\\int _^f^2(x)\\,dx=\\sum _{k=1}^{\\infty}c^_ (4)，

那么级数\\sum _{k=1}^{\\infty} c_k\\phi _k(x) (5) 必然收敛于f(x)，其中:

c_n=\\int _^f(x)\\phi_n(x)\\,dx (6)。

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

\\int _^f^2(x)\\,dx \\ge \\sum _{k=1}^{\\infty}c^_成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基\\{e_i\\}^_{i=1}，向量x在e_i上的投影总为 。

2。傅立叶级数的展开式是什么？

傅里叶级数展开公式如下:

三角波、矩形波、梯形波等傅立叶级数是不连续的，在仿真软件中容易出现不收敛现象。因此，在这种情况下，通过使用一系列谐波叠加形式来等效原始波形，可以很好地优化模型。

傅里叶展开的收敛准则

到目前为止，还没有判定傅里叶级数收敛性的充要条件，但对于实际问题中出现的函数，有很多种判定条件。比如x(t)的可微性或者级数的一致收敛。

闭区间内满足狄利克雷条件的函数所表示的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下:x(t)在定义的区间内必是绝对可积的；在任意有限区间内，x(t)只能取有限个极值点；在任一有限区间内，x(t)只能有有限个第一类不连续点。

参考以上资料:百度百科-傅立叶展开

3。什么是傅立叶级数？

四、如何理解傅立叶级数？

傅里叶级数是将一个复函数展开成三角级数。

法国数学家傅立叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数组成的无穷级数来表示(正弦函数和余弦函数因正交而被选为基函数)。后人把傅立叶级数称为特殊的三角级数，而根据欧拉公式，三角函数可以转化为指数形式，所以也称傅立叶级数为指数级数。

属性

1.趋同；聚集

傅立叶级数的收敛性:满足狄利克雷条件的周期函数表示的傅立叶级数都是收敛的。Dilihri条件如下:

X(t)在任一周期内必是绝对可积的；在任一有限区间内，x(t)只能取有限个极大值或极小值；

在任一有限区间内，x(t)只能有有限个第一类不连续点。

2.正交性

所谓两个不同向量的正交性，是指它们的内积为0，也就是说两个向量之间没有相关性。

以上是边肖对傅立叶级数(傅立叶级数展开式)及相关问题的回答。希望傅立叶级数(傅立叶级数展开式)的问题对你有用！

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