质数的概念（和数和质数的概念）

今天给大家分享一下素数概念的知识，也讲解一下和与素数的概念。如果你碰巧解决了你现在面临的问题，别忘了关注这个网站，现在就开始！

什么是质数？

质数又称素数，是指大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除。它的数量是无限的，并且有许多独特的性质。现在多用于密码学。

质数有许多独特的性质。比如素数p只有两个约数，分别是1和p，而素数的个数是无限的。在所有大于10的质数中，个位数只有1、3、7、9，所以辨别质数或者认识质数是非常容易的，你可以掌握基本规律。

初等数学中有一个基本定理，任何大于1的自然数，要么本身就是素数，要么可以分解成几个素数的乘积，而且这种分解本身是唯一的。所以现在密码学中经常用到素数，解密的过程其实就是寻找素数的过程。

扩展信息:

素数用于密码学。所谓公钥，就是在编码时给要传输的信息加上一个素数，编码后再传输给接收方。如果任何人在没有接收者所拥有的密钥的情况下接收到这些信息，那么解密的过程(实际上是寻找素数(分解素数因子)的过程)就会太长，甚至使获取信息变得毫无意义。

在汽车变速箱齿轮的设计中，将相邻两个齿轮的齿数设计为质数，以增加两个齿轮中两个相同齿的相遇和啮合次数的最小公倍数，可以增强耐久性，减少故障。

害虫的生物生长周期与杀虫剂的使用之间的关系也得到了证明。实验表明，多次使用农药是最合理的:都是在害虫繁殖的高潮期使用，害虫很难产生抗药性。

以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷，敌人很难拦截。

大多数生物的生命周期也是质数(以年为单位)，这可以最大限度地减少遇到天敌的机会。

百度百科-质数

质数是什么概念？

素数的概念是除数只有1且其自身的自然数称为素数，也叫质数。例如，2、3、5、7和11是质数。必须注意，1不是质数。

素数的概念

有无限个质数，也叫质数。除了1和它本身没有其他因素。根据算术基本定理，每一个大于1的整数，不是它本身就是一个素数，就是一系列素数的乘积，最小的素数是2。

什么是质数？

质数也叫质数。指除了1和整数本身不能被其他自然数整除的大于1的自然数的个数。素数是与合数相对的两个概念，构成了数论中最基本的定义之一。基于素数定义的世界级难题有很多，比如哥德巴赫猜想。到2012年6月底，素数的通式还没有完全找到。

素数无穷性的证明

质数的数量是无限的。最经典的证明是由欧几里得证明的，并记录在他的《几何原本》中。它采用了常用的证明方法:反证法。具体证明如下:

假设只有有限数量的n个素数，排列为p1，p2，...，pn从小到大，设n = P1× P2×...× PN，那么N+1是质数吗？

如果N+1是一个质数，那么N+1大于p1，p2，...，pn，所以不在那些假设的质数里。

如果N+1是一个合数，因为任何一个合数都可以分解成几个素数的乘积；N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能是p1，p2，...，pn，所以这个复数分解得到的素数因子肯定不在假设的素数集中。

所以，无论数是质数还是合数，都意味着除了假设的有限个质数之外，还有其他质数。

对于任何有限的素数集合，用上述方法总能得到一个素数不在假设的素数集合中的结论。

所以原来的假设不成立。换句话说，有无穷多个质数。

其他数学家也给出了自己的证明。欧拉用黎曼ζ函数证明了所有素数的倒数之和都是发散的，恩斯特·科莫证明得更简洁，希勒尔·弗斯滕伯格用拓扑学证明。

用于计算一定范围内素数的个数。

虽然整个质数是无限的，但是有人会问“10万以下的质数有几个？”\"一个随机的100位数成为质数的概率是多少？\"。素数定理可以回答这个问题。

编辑这个著名的问题哥德巴赫猜想

哥德巴赫在1742年给欧拉的信中提出了如下猜想:任何大于2的整数都可以写成三个素数之和。因为“1也是质数”的约定俗成在今天的数学中已经不再使用，原猜想的现代说法是:任何大于5的整数都可以写成三个质数之和。欧拉在辩护中还提出了另一个等价版本，即任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和。今天流行的猜想，据说是欧拉的版本。任何一个足够大的偶数都可以表示为一个不超过一个素数因子的数和一个不超过b个素数因子的数之和，这个命题叫做“a+b”。1966年，陈景润证明了“1+2”成立，即“任何足够大的偶数都可以表示为两个素数之和，或者一个素数和一个半素数之和”。今天常见的猜想是欧拉版本，即任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和，也叫“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

从哥德巴赫关于偶数的猜想可以推断，任何大于7的奇数都可以写成三个素数之和。后者被称为“弱哥德巴赫猜想”或“奇数上的哥德巴赫猜想”。

如果关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，那么关于奇数的哥德巴赫猜想也将是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年前苏联数学家维诺格拉多夫证明了一个足够大的奇素数可以写成三个素数之和，也称为哥德巴赫-维诺格拉多夫定理或三素数定理。数学家认为弱哥德巴赫猜想已经基本解决。

黎曼假设

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼(1826-1866)于1859年提出。德国数学家希尔伯特列举了23个数学问题，其中黎曼假设被包含在第八个问题中。自然数中素数的分布没有简单的规律。黎曼发现素数的频率与黎曼ζ函数密切相关。黎曼猜想提出了黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点(这里s不是点-2，-4，-6等的值。).)是1/2。换句话说，所有的非平凡零点都应该位于直线1/2+ti(“临界线”)上。t是实数，I是虚数的基本单位。到目前为止，还没有人对黎曼猜想给出令人信服的合理证明。

在黎曼猜想的研究中，数学家称复平面临界线上的直线为Re(s)=1/2。利用这一项，黎曼猜想也可以表示为:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于临界线上。

黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个结论:Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在证明失败后放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但是这个问题至今没有解决，甚至一个更简单的假设都没有被证明。函数论和解析数论中的许多问题都依赖于黎曼假设。代数数论中的广义黎曼假设影响深远。如果黎曼的假设能被证明，很多问题都可以解决。

孪生素数猜想

1849年，波利纳克提出了孪生素数猜想，即他猜测孪生素数有无限对。

猜想中的“孪生素数”是指一对相差2的素数。比如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959都是孪生素数。

100以内的质数是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

费马数2 (2 n)+1

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过素数的性质。他发现，如果Fn = 2 (2 n)+1，那么当n等于0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，这些都是素数。因为F5太大(F5=4294967297)，他没有进一步测试就走了下去。这是费马数。费去世67年后，25岁的瑞士数学家欧拉证明F5是一个合数。

后来数学家再也没有发现哪些Fn值是质数，都是合数。目前由于广场较宽，证明较少。现在数学家得到了Fn的最大值:n=1495，有10 ^ 10584位数之多。虽然很大，但不是质数。

梅森素数

在17世纪，有一个叫梅森的法国数学家，曾经做过一个猜想:2 p-1，当P是一个质数时，2 p-1就是一个质数。他查了一下，当p=2，3，5，7，17，19时，得到的代数表达式的值都是素数。后来欧拉证明，当p=31时，2 p-1是素数。当p = 2，3，5，7，2时，p-1是素数，但当p=11时，2047=23×89不是素数。

还剩下三个梅森数，p = 67,127,257。因为太大了，很久都没人考证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明了2 67-1 = 193707721× 761838257287是一个合数。这是第九个梅森号码。20世纪已经证明梅森数10是素数，梅森数11是合数。素数排列的混乱也让人们很难找到素数的规律。

现在数学家发现的最大的梅森素数是2 43112609-1。

编辑本段中的素数定理。

素数定理描述了素数的一般分布。素数出现的规律一直困扰着数学家。一个接一个，正整数中素数的出现是不规则的。但一般来说，素数的个数是有规律的。通过对齐实数X，并将π(x)定义为不大于X的素数的个数，数学家们找到了一些估计π(x)增长的函数。以下是第一个这样的估计。π(x)≈x/ln x其中ln x是x的自然对数，上式表示当x趋近于∞，π(x)与x/ln x之比趋近于1(注:这个结果是高斯发现的)。但这并不意味着它们的值随着x的增加而接近，这里有一个很好的估计π(x):π(x)= Li(x)+O(XE(-(lnx)(1/2)/15)，当x接近∞时。其中Li(x) = ∫(dt/ln x2，x)，关系式右侧的第二项是误差估计。

素数定理可以给出第n个素数p(n): p (n) ~ n/ln n的渐近估计，也可以给出从整数中提取一个素数的概率。随机选择一个不大于n的自然数，它是素数的概率约为1/ln ^ n，这个定理的公式是由法国数学家勒让德在1798年提出的。1896年，法国数学家雅克·哈达玛和比利时数学家夏尔·让·德拉瓦莱-普桑分别给出了证明。证明了采用复分析，尤其是黎曼ζ函数。因为黎曼ζ函数与π(x)密切相关，所以关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论非常重要。一旦猜想被证明，素数定理的误差估计就可以大大提高。1901年，瑞典数学家赫尔格·冯·科赫(Helge von Koch)在假设黎曼猜想成立的情况下，证明了上述关系式中误差项的估计可以改进为π (x) = li (x)+o (x (1/2) ln x)，但大O项的常数未知。素数定理的一些初等证明只需要数论的方法。1949年，匈牙利数学家保罗·伊迪丝(“鄂尔多斯”或“埃尔多希”)和挪威数学家阿特里·西尔伯格获得了第一个初等证明。在此之前，一些数学家不相信没有困难数学的帮助就能找到初等证明。英国数学家哈代说，素数定理必须用复分析来证明，可见定理结果的“深度”。他认为，仅仅使用实数不足以解决某些问题，必须引入复数来解决。这是基于感觉有些方法比其他方法更先进更强大，素数定理的初等证明动摇了这个论点。塞尔伯格-伊迪丝的证明恰恰说明了看似初等的组合数学也可以非常强大。但需要指出的是，这种初等证明虽然只用初等方法，但比用复分析还要难。

算术基本定理

任何大于1的自然数n都可以唯一地分解成有限个素数n =(P1 a1)*(p2 a2)的乘积...(p _ n an)，其中P_1P_2...P_n是一个素数，它的指数ai是一个正整数。

这种分解称为n的标准分解。

算术基本定理的内容由分解的存在性和分解的唯一性(即一个正整数分解成一个素数乘积的方式是唯一的，与排列顺序无关)两部分组成。

算术基本定理是初等数论中的一个基本定理，也是许多其他定理的逻辑支撑和出发点。

这个定理可以推广到更一般的交换代数和代数数论。高斯证明了复整数环Z[i]也有唯一的分解定理。还总结了整环的唯一分解和欧氏整环的概念。更一般的有戴德金的理想分解定理。

素数的算术级数

等差数列是数列的一种。在等差数列中，任意两个相邻项之间的差是相等的。这种差异叫做宽容。类似于7，37，67，97，107，137，167，197。这样一个由素数组成的数列叫做算术素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明了任意长的素数等差数列的存在性。2004年4月18日，他们宣布证明了“任意长度的素数都有一个等差数列”，即对于任意值K，都有K个等差数列素数。例如，K=3，有素数序列3，5，7(每两个差是2)...k = 10，有素数序列199，409，619，829，1039，1249，1459，1669，1879，2089(每两个差是210。

参考数据

1.格林和陶哲轩的结果证明了任意长度素数的存在性。作者:格林，b .和陶，T；论文题目:素数包含任意长度和等差数列；提交日期:2004年4月9日；接受日期:2005年9月12日；出版杂志:年鉴

质数的定义是什么？

质数(也叫质数)

1.也就是说，在所有大于1的整数中，除了1和它本身之外，没有其他因子。这个整数叫做质数。换句话说，一个质数只有两个约数:1和它自己。2.素数是可以表示为自身和1的乘积的整数，不能表示为任意两个其他整数的乘积。比如15 = 3 * 5，所以15不是质数；

再比如12 = 6 * 2 = 4 * 3，所以12不是质数。另一方面，13不能表示为除13 * 1之外的任何其他两个整数的乘积，所以13是一个素数。

[编辑本段]素数的概念

如果一个数只有两个因子:1和它本身，就叫质数。比如2、3、5、7是质数，4、6、8、9不是。后者称为合数或复合数。从这个角度来看，整数可以分为两种，一种叫质数，一种叫合数。(1不是素数也不是合数)著名的高斯“唯一分解定理”说，任何整数。可以写成一系列素数的乘积。除了2是偶数外，所有的质数都是奇数。

[编辑本段]质数的奥秘

质数的分布是不规则的，而且常常令人困惑。比如101，401，601，701都是质数，但上下301(7*43)和901(17*53)是合数。

有人做过这样的计算:1 2+1+41 = 43，2 2+2+41 = 47，3 2+3+41 = 53...于是我们可以有一个公式:设一个正数是n，那么n ^ 2+n+41的值一定是素数。这个公式直到n=39都成立。但当n=40时，公式无效，因为40 ^ 2+40+41 = 1681 = 41 * 41。

说到质数，哥德巴赫猜想和著名的“1+1”是不可或缺的。

哥德巴赫猜想:(哥德巴赫猜想)

所有不小于6的偶数都可以表示为两个素数。

这个问题是德国数学家C·哥德巴赫(1690-1764)在1742年6月7日给大数学家欧拉的一封信中提出的，所以被称为哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉回信说，这个猜想可能是真的，但他无法证明。从那以后，这个数学问题吸引了几乎所有数学家的注意。巴赫猜想也因此成为数学皇冠上一颗高不可攀的“明珠”。“用当代语言描述，哥德巴赫猜想有两个内容。第一部分叫奇猜想，第二部分叫偶猜想。奇数猜想表明，任何大于等于7的奇数都是三个素数之和。偶数猜想是大于等于4的偶数一定是两个素数之和。”(引自哥德巴赫猜想和潘承东)

巴赫猜想看似简单，但证明起来并不容易。它已经成为数学中的一个著名问题。在18、19世纪，所有的数论专家在证明这个猜想上都没有取得实质性的进展，直到20世纪才有所突破。为了直接证明哥德巴赫猜想不成立，人们采取了“迂回战术”，即把偶数看成两个数之和，每个数都是几个素数的乘积。如果把命题“每个大偶数都可以表示为一个不超过一个质因数的数和另一个不超过B个质因数的数之和”写成“A+B”，那么科里奥利猜想就是证明“1+1”成立。

1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特在国际数学大会上将哥德巴赫猜想列为23个数学问题之一。此后，20世纪的数学家们在世界各地“联手”进攻哥德巴赫猜想的堡垒，终于取得了辉煌的成果。

20世纪20年代，人们开始接近它。1920年，挪威数学家布觉用一种古老的筛选方法证明了这一点，并得出结论:每一个大于6的偶数都可以表示为(9+9)。这种缩小包围圈的方法非常有效，于是科学家们逐渐减少每个数中质因数的个数，从(99)到最后，每个数都是质数，从而证明了哥德巴赫猜想。

1920年，挪威的布伦证明了“9+9”。

1924年，拉德马赫证明了“7+7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。

1937年，意大利的Ricei先后证明了“5+7”、“4+9”、“3+15”、“2+366”。

1938年，苏联的Byxwrao证明了“5+5”。

1940年，苏联的Byxwrao证明了“4+4”。

匈牙利的Renyi在1948年证明了“1+c”，其中C是一个很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了“3+4”。

1957年，中国的王元先后证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国的潘承东和苏联的巴博亚证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。

1965年，苏联的Byxwrao和vinogradov和意大利的Bombieri证明了“1+3”。

1966年，中国和陈景润证明了“1+2”【通俗地说，就是大偶数=质数+质数*或者大偶数=质数+质数(注:组成大偶数的质数不能是偶数，只能是奇数。因为质数中只有一个偶数质数，那就是2。)]。

“s+t”问题是指S个素数的乘积和T个素数的乘积之和。

20世纪数学家研究哥德巴赫猜想的主要方法是筛选法、圆法、密度法、三角形法等高级数学方法。解决这个猜想的方法，就像“缩小包围圈”一样，正在逐渐接近最后的结果。

感谢陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想“1+1”的最终结果只有一步之遥。但为了实现这最后一步，可能需要一个漫长的探索过程。很多数学家认为，要证明“1+1”，就必须创造新的数学方法，之前的路很可能是走不通的。

素数的性质

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过素数的性质。他发现，如果Fn = 2 (2 n)+1，那么当n分别等于0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，都是素数。因为F5太大了(F5=4294967297)，所以直接检测不下去。但是，F5有一个问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明F5=4294967297=641*6700417不是素数，而是合数。

更有意思的是，数学家们一直没有发现哪些Fn值是质数，而且都是合数。目前由于广场较大，证明较少。现在数学家得到Fn的最大值:n=1495。这是一个超级天文数字，10584有10位数之多。当然，虽然大，但不是质数。质数和费马开了个大玩笑！

还有一种叫“几乎质数”，就是像素多。著名数学家陈景润就用过这个概念。他的“1+2”的“2”是“几乎质数”的意思，实际上是一个合数。我们不要混淆。严格来说，“几乎质数”不是一个科学概念，因为科学概念的特点是(1)准确性；(2)稳定性；(3)可查；(4)系统性；(5)特异性。比如很多数学家用“足够大”，这也是一个模糊的概念，因为陈景润把它定义为“10的50万次方”，也就是在10后面加50万个零。这是一个无法核实的数字。

[编辑本段]质数的假设

在17世纪，有一个法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想:2 p-1代数表达式，当P是一个素数时，2 p-1是一个素数。他查了一下，当p=2，3，5，7，11，13，17，19时，得到的代数表达式的值都是素数。后来欧拉证明，当p=31时，2 p-1是素数。当p = 2，3，5，7时，Mp是素数，但M11 = 2047 = 23× 89不是素数。

还剩下三个梅森数，p = 67，127，257，太大了，无法验证很久。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明了267-1 = 193707721 * 76188257287是一个合数。这是第九个梅森号码。在20世纪，人们已经证明了第10个梅森数是素数，第11个梅森数是合数。素数的无序排列也让人们很难找到素数的规律。

[编辑本段]质数表上的质数

数学家现在发现的最大梅森数是一个9808357位数:2 32582657-1。虽然在数学中可以找到大量的质数，但是质数定律仍然无法遵循。

[编辑此段][寻找大质数的方法]

发现质数除了2都是奇数，奇数除了【奇*奇】(或“奇”)都是质数。然后，先用电脑找出所有的【奇*奇】(或者加上“奇”)(比如9，15，21，25，27，33，35，39...)，然后找出上面没有提到的奇数，那些数就是质数。

人们找到的几个超级素数都不见了。我们可以通过这个方法找到那些缺失的数字，但是要花很长时间！

这对“孪生素数”有帮助！

以上算法比较麻烦，寻找大素数的效率很低。这个大素数可以通过概率算法找到。

求素数，请用公理和素数计算。这种方法不需要写全奇数，计算出来的素数也不能省略。对于复数的删除，并不涉及所有的奇数，删除是准确的。删除奇数后，剩下的都是质数。比如删除一个是奇素数3的倍数的数，只需要删除整个自然数中的一个数；删除素数5的倍数的个数，整个自然数只需要删除2个数；删除素数7的倍数的个数，整个自然数只需要删除8个数；以此类推，如果老师会用电脑编程，对计算质数会有很大帮助。

以上算法比较麻烦，寻找大素数的效率很低。这个大素数可以通过概率算法找到。

求素数，请用公理和素数计算。这种方法不需要写全奇数，计算出来的素数也不能省略。对于复数的删除，并不涉及所有的奇数，删除是准确的。删除奇数后，剩下的都是质数。比如删除一个是奇素数3的倍数的数，只需要删除整个自然数中的一个数；删除素数5的倍数的个数，整个自然数只需要删除2个数；删除素数7的倍数的个数，整个自然数只需要删除8个数；以此类推，如果老师会用电脑编程，对计算质数会有很大帮助。\"

[编辑本段][素数的个数]

有一个近似公式:x中素数的个数近似等于x/ln(x)

Ln代表自然对数。

没有给出确切的素数公式。

10以内有四个质数。

100以内有25个质数。

1000以内有168个质数。

10000以内有1229个质数。

100000以内有9592个质数。

1000000以内有78498个质数。

1000000以内有664579个质数。

1000000以内有5761455个质数。

......

总数是无限的。

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