勾股数（勾股数顺口溜）

今天给大家分享的是毕达哥拉斯数的知识，我也会讲解毕达哥拉斯韵。如果你碰巧解决了你现在面临的问题，别忘了关注这个网站，现在就开始！

什么是毕达哥拉斯数？

毕达哥拉斯数也叫毕达哥拉斯三元数。毕达哥拉斯数是一组可以构成直角三角形三条边的正整数。

常见特殊毕达哥拉斯数:3.45；5 12 13;6 8 10;8,15,17;9 12 15;7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ;45 60 75 ;48 55 73 ;48 64 80 ;48 90 102 ;51 68 85 ;54 72 90 ;56 90 106 ;57 76 95 ;60 63 87 ;60 80 100 ;60 91 109 ;63 84 105 ;65 72 97 ;66 88 110 ;69 92 115 ;72 96 120 ;75 100 125 ;80 84 116等等。

勾股数满足勾股定理。

勾股定理是一个基本的几何定理，意思是直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。中国古代把直角三角形叫做勾股定理，较小的直角边是钩，另一个较长的直角边是弦，斜边是弦，所以这个定理叫做勾股定理，也有人叫它商高定理。

勾股定理的证明方法大约有500种，勾股定理是数学中证明最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商高提出了“三股四玄五”勾股定理的特例。在西方，公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派首先提出并证明了这个定理。他通过推导证明了直角三角形斜边的平方等于两个直角的平方之和。

什么是毕达哥拉斯数？？？

毕达哥拉斯数也叫毕达哥拉斯三元数。

任何能构成直角三角形三条边的正整数组称为毕达哥拉斯数。

①观察3、4、5；5,12,13;7,24,25;...发现这些毕达哥拉斯数都是奇数，从3开始就没停过。计算0.5(9-1)，0.5(9+1)和0.5(25-1)，0.5(25+1)，根据你找到的规律写出能分别代表7，24，25的公式。

(2)根据①定律，用n的代数式表示所有这些勾股数的钩、股、弦，并合理猜测它们之间的两个相等关系，解释其中一个。

③继续观察4、3、5；6,8,10;8,15,17;...可以发现每组的第一个数字都是偶数，从4开始就没有间断过。使用上面提到的类似探索方法，它们的弦和弦用m的代数表达式表示。

设直角三角形三条边的长度分别为a，b，c。从勾股定理可以知道，A 2+B 2 = C 2，这是构成直角三角形三条边的充要条件。所以，求一组勾股数就是解不定方程X ^ 2+Y ^ 2 = Z ^ 2，求正整数解。

例:已知在△ABC中，三条边的长度为A，B，C，A = N2-1，B = 2n，C = N2+1 (n > 1)，验证为∠ C = 90。这个例子说明，任何大于2的偶数2n (n > 1)都可以构成一组有三条边的毕达哥拉斯数:2n，n2-1，n2+1。如:6、8、10、8、15、17、10、24、26等。

让我们看看下面这些毕达哥拉斯数字:3，4，5，5，12，13，7，24，25，9，40，41，11，60，61...这些毕达哥拉斯数字是奇数边的直角三角形。从上面的例子可以看出，任何大于2的偶数都可以组成一组毕达哥拉斯数。其实，任何大于1的奇数2n+1 (n > 1)也可以构成一个勾股数，它的三边分别是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，这可以用勾股定理的逆定理来证明。

观察和分析上面提到的毕达哥拉斯数，我们可以看到它们有以下两个特点:

1.直角三角形的短直角边是奇数，另一条直角边和斜边是两个连续的自然数。

2.直角三角形的周长等于短边和短边本身的平方和。

掌握以上两个特点，为解决一类问题提供了便利。

比如直角三角形的三条边的长度都是正整数，短直角边的长度是13。这个直角三角形的周长是多少？

用特征1求解:设这个直角三角形的三条边分别为13，x，x+1，则有:169+x2=(x+1)2，解为x=84，这个三角形的周长为13+84+85 = 182。

特征2的解法:这个直角三角形是边数为奇数的直角三角形，所以它的周长=169+13=182。

勾股数的一般公式:

题目:给定A ^ 2+B ^ 2 = C ^ 2，A，B，C为正整数，求A，B，C满足的条件。

解决

结论一:从题目中可以看出，与三角形关联的a+bc (1)很容易得到。

结论2: A 2 = C 2-B 2 = (C+B) * (C-B) (2)

从(2)可以看出，题目的关键是找出A ^ 2因式分解的本质，使X = C+B，Y = C-B。

所以:a 2 = x * y，(xy，ay) (3)

首先分解Y，让Y的所有因子中最大的一个写成平方数K = m ^ 2，那么Y = n * m ^ 2(4)。

而(3)公式表明，a ^ 2 = x * n * m ^ 2(5)。

与公式(5)相比，公式(5)两边都能被m整除，n中不能有素数的平方因子，否则与公式(4)中的最大平方数相矛盾。

同样，我们可以知道a ^ 2 = y * n \' * m \' 2(6)，x = n\' * m\' 2，n \'是不同素数的乘积。

将公式(5)和公式(6)相乘得到a ^ 2 =(m * m’)2 * n’* n，(n，n’是不同素数的乘积)(7)。

根据(7)，n * n’仍然是一个平方数。由于n \'和n是不同的素数，所以已知n = n \'(自证，比较简单)。

我们知道a=m\'*m*n

c=(x+y)/2=(n*m^2+n*m\'^2)/2=n*(m^2+m\'^2)/2

b=(X-Y)/2=n*(m\'^2-m^2)/2

a=m*n*m \'

【编辑此段】勾股数的常用套路

勾股数一般是指三个正整数(A，B，C)可以组成一个直角三角形的三条边。

即a 2+b 2 = c 2，a，b，c ∈ n

而且因为任意一个勾股数组(A，B，C)中的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na，nb，nc)仍然是一个勾股数组，所以我们要找的是一个A，B，C互质的勾股数组。

对于这种阵列，有两种常见且实用的例程:

1.当a是大于1的奇数2n+1时，b = 2 * n 2+2 * n，c = 2 * n 2+2 * n+1。

其实就是把A的平方数拆分成两个连续的自然数，比如:

当n=1时，(a，b，c)=(3，4，5)

当n=2时，(a，b，c)=(5，12，13)

当n=3 (a，b，c)=(7，24，25)时

......

这是最经典的套路，而且因为两个连续的自然数一定是质数，所以这个套路得到的毕达哥拉斯数组都是质数。

2.当a是大于4的偶数2n时，b = n ^ 2-1，c = n ^ 2+1。

即负1加1的半个a的平方，例如:

当n=3时，(a，b，c)=(6，8，10)

当n=4时，(a，b，c)=(8，15，17)

当n=5时，(a，b，c)=(10，24，26)

当n=6 (a，b，c)=(12，35，37)时

......

这是经典套路。当n是奇数时，因为(a，b，c)是三个偶数，所以勾股数组一定不是互质的。当n为偶数时，勾股数组互质，因为B和C是两个连续的奇数。

所以如果你只是想得到一组素数，这可以改成，对于a = 4n (n = 2)，b = 4 * n ^ 2-1，c = 4 * n ^ 2+1，例如:

当n=2时，(a，b，c)=(8，15，17)

当n=3 (a，b，c)=(12，35，37)时

当n=4时，(a，b，c)=(16，63，65)

......

= = = = = = =爱德华补充= = = = = = = =

对于素数因子较多的和，n可以参考其素数因子来补充对应的勾股数，即一个n会有多对勾股数，例如:

当n=9时，(a，b，c) = (9，24，25)或(9，12，15)-3 * (3，4，5)。

当n=12时，(a，b，c) = (12，35，37)或(12，16，20)-4 * (3，4，5)

= = = = = = = = =尚敬波补充= = = = = = = =

也有这样的毕达哥拉斯数，20，21，29；

119、120、169;

696、697、985;

4059、4060、5741;

23660、23661、33461;

137903 137904 195025

803760 803761 1136689

4684659 4684660 6625109

……

毕达哥拉斯定理研究了三千年，还有研究空间吗空？我用这篇文章来尝试探索。

挂钩编号

1.定义:任何符合x ^ 2+y ^ 2 = z ^ 2公式的正整数值称为勾股数。x和y是直角，z是斜边。

2.有公约数的地方，我们称之为导数勾股数，如[30，40，50]；

3.没有公约数的毕达哥拉斯数，如[3，4，5]；[8，15，17]等等。我们称之为毕达哥拉斯数。所有的偶数勾股数都必须是导出勾股数，三个奇数不能满足定义的公式。因此，毕达哥拉斯数的唯一可能性是:

x和y分别是奇数和偶数(偶数和奇数)，斜边Z只能是奇数。

4.毕达哥拉斯数具有以下特征:

斜边和偶边之差是一个奇数，这个奇数只能是一个奇数的平方，比如1，9，25，49，...，到无穷大；

斜边和奇数边之差是偶数，只能是偶数平方数的一半，比如2，8，18，32，...，到无穷大；

5.从上面的定义，我们推导出毕达哥拉斯公式:

X = P 2+PQ (X等于P加上PQ的平方)

Y = Q 2/2+PQ (Y等于Q的一半加上PQ)

Z = P 2+Q 2/2+PQ (Z等于P加半Q加PQ的平方)。

6.这个公式涵盖了自然界所有的毕达哥拉斯数，包括导出的毕达哥拉斯数。

7.用这个公式很容易推导出所有的毕达哥拉斯数。比如2000年以内的毕达哥拉斯数有320组(不包括派生的毕达哥拉斯数)。最大的群体是[315，1972，1997]

8.斜边分别为1105和1885的毕达哥拉斯数有四组:

[47,1104,1105] [264,1703,1105] [576,943,1105] [744,817,1105];

[427,1836,1885] [1003,1596,1885] [1643,924,1885] [1813,516,1885];

9.将任意奇数代入p，将任意偶数代入q，得到一个唯一的毕达哥拉斯数。

例如，P = 5，Q = 8，我们得到

X = 25 + 5×8 = 65

Y = 32 + 5×8 = 72

Z = 25 + 32 + 5×8 = 97

10.它清楚地表明斜边与偶直角边之差是一个奇方，斜边与奇直角边之差是偶方的一半值，而斜边由奇方和偶方之和与奇和偶的乘积组成。

11.当P和Q有公约数时，如9和12，21和28，则导出毕达哥拉斯数；

当P和Q没有公约数时，比如9和8，21和16，就导出了勾股数。

12.没有不符合这个公式的毕达哥拉斯数。比如有人给了一个好玩的毕达哥拉斯数【88209，90288，126225】，其实就是一个衍生的毕达哥拉斯数。是将[297，304，425]乘以297倍得到的，由P = 11，Q = 16得出。

13.本文提供的公式来源于第四条中两个毕达哥拉斯数的特征，但可以来源于600年前的印度婆罗门笈多公式。

14.勾股定理可以根据这个公式从正整数推广到负整数。在笛卡尔坐标中，勾股三角形可以出现在更大的位置。

[编辑此段]勾股数公式及证明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

证书:

假设a ^ 2+b ^ 2 = c ^ 2，这里我们研究(a，b)=1的情况(如果不等于1，那么(a，b)|c，两边除以(a，b)就可以了)。

如果A和B都是奇数，那么A ^ 2+B ^ 2 = 2(mod4)(奇数mod 4大于1)，2不是模4的二次剩余，这是矛盾的，所以一定有偶数。假设a=2k。

方程是4k ^ 2 =(c+b)(c-b)。

显然，b和c与奇偶性不一致(否则，右边等于奇数)

代入:M=(c+b)/2，N=(c-b)/2。显然，m和n都是正整数。

现在:(m，N)=1

如果有一个质数P，使得p|M，p|N，那么p|M+N(=c)，p|M-N(=b)，从而p|c，p|b，从而p|a，这与(a，b)=1相矛盾。

所以证明了(m，N)=1。

根据算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 *...，其中a1，a2...是偶数，p1，p2，p3...是质数。

如果对于某个pi，M的pi因子个数是奇数，那么N对应的pi因子个数一定是奇数(否则和不是偶数)，这样pi|M，pi|N，(M，N)=pi1就与刚才的证明相矛盾了。

所以对于所有的质因数，π^ 2 | m和π^ 2 | n，也就是m和n都是平方数。

设m = m 2，n = n 2。

这样我们得到C+B = 2m ^ 2，C-B = 2n ^ 2。

常用的毕达哥拉斯数有哪些？

毕达哥拉斯常用的数字有:3、4、5；5、12、13;7、24、25;8、15、17;9，40，41等等。

毕达哥拉斯数，又称毕达哥拉斯三元数。毕达哥拉斯数是一组可以构成直角三角形三条边的正整数。勾股数是基于勾股定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

勾股定理表明，平面上直角三角形的两条直角边的长度的平方和(古代称为钩长和头)等于斜边长度的平方(古代称为弦长)。反之，如果平面上一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，则为直角三角形(直角的对边为第三条边)。

据《周代衡算书》记载，在公元前1000多年周公与商高关于数的对话中，商高以三、四、五、三个具体数为例，详细讲解了勾股定理的要素。

公元前2600年的古埃及纸莎草纸就有这组毕达哥拉斯数(3，4，5)，古巴比伦泥板涉及的最大毕达哥拉斯数列是(12709，13500，18541)。

扩展数据

勾股定理的证明

一、赵爽勾股图证明方法

中国三国时期，赵爽为了证明勾股定理，做了一个勾股方图，也就是弦图。按照它的证明思想，它的方法可以覆盖所有的直角三角形，是一种具有东方特色的勾股定理的无字证明方法。第24届国际数学家大会于2002年在北京举行。中国邮政发行了邮资明信片，邮资地图是本次大会的会徽——赵双仙《证明勾股定理的中国古代地图》。

二、刘徽“剪补”的证明方法

魏晋时期的大数学家刘徽在写《九算术笔记》时，以他证明勾股定理的“割补法”为基础，做了一个“青-朱路径图”。刘徽是这样描述这个画面的:“与朱芳勾连，与方清共享，使输入与输出相辅相成，各按其型，因为其余都是静态的，和弦的力量是合成的。除了药方，也是一串。”

大意是，任何一个红色正方形钩宽的直角三角形叫做朱芳，蓝色正方形钩头的直角三角形叫做方清。在底部对齐朱芳和方清两个方块，然后切割填充——以利补损，保持在分界线以内，线外“按类型分类”。合成和弦的框是和弦框，合成和弦的框是弦长。

常见的毕达哥拉斯数有哪些？

毕达哥拉斯数，又称毕达哥拉斯三元数。毕达哥拉斯数是一组可以构成直角三角形三条边的正整数。常见的数字有(3，4，5)，(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25)等等。

什么是毕达哥拉斯数？

勾股数是指直角三角形三条边的长度，都是正整数。举个例子，如果一个直角三角形的两条右边分别是A和B，斜边是C，那么这两条右边的平方+B的平方等于斜边C的平方，那么这组数组就叫做勾股数。一般较短的直角边叫钩，较长的直角边叫弦，斜边叫弦。

勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，意思是直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。中国古代把直角三角形叫做勾股定理，较小的直角边是钩，另一个较长的直角边是弦，斜边是弦，所以这个定理叫做勾股定理，也有人叫它商高定理。

毕达哥拉斯记忆公式

奇数组公式:将它平方，分成两个连续的数。

3 ^ 2 = 9，9 = 4+5，所以3，4，5是一组毕达哥拉斯数。

5 ^ 2 = 25，25 = 12+13，所以5，12，13是一组毕达哥拉斯数。

7 ^ 2 = 49，49 = 24+25，所以7，24，25是一组毕达哥拉斯数。

9 ^ 2 = 81，81 = 40+41，所以9，40，41是一组毕达哥拉斯数。

偶数组公式:将半个正方形分成两个数，两个数之差为2。

4 2 = 16，16/2 = 8，8 = 3+5，所以3，4，5是一组毕达哥拉斯数。

6 2 = 36，36/2 = 18，18 = 8+10，所以6，8，10是一组毕达哥拉斯数。

8 ^ 2 = 64，64/2 = 32，32 = 15+17，所以8，15，17是一组毕达哥拉斯数。

10 ^ 2 = 100，100/2 = 50，50 = 24+26，所以10，24，26是一组毕达哥拉斯数。

12 ^ 2 = 144，144/2 = 72，72 = 35+37，所以12，35，37是一组毕达哥拉斯数。

什么是毕达哥拉斯数？

毕达哥拉斯数一般指能构成直角三角形三条边的三个正整数(如A、B、C)。

即a 2+b 2 = c 2，a，b，c ∈ n

而且因为任意一个勾股数组(A，B，C)中的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na，nb，nc)仍然是一个勾股数组，所以我们要找的是一个A，B，C互质的勾股数组。

设三个数分别为I，J，k J，K。

I = 3j = 4k = 5；

I = 5j = 12k = 13

I = 6j = 8k = 10

I = 7j = 24k = 25

I = 8j = 15k = 17

I = 9j = 12k = 15

I = 9j = 40k = 41

I = 10j = 24k = 26

I = 11j = 60k = 61

I = 12j = 16k = 20

I = 12j = 35k = 37

I = 13j = 84k = 85

I = 14j = 48k = 50

I = 15j = 20k = 25

I = 15j = 36k = 39

I = 16j = 30k = 34

I = 16j = 63k = 65

I = 18j = 24k = 30

I = 18j = 80k = 82

I = 20j = 21k = 29

I = 20j = 48k = 52

I = 21j = 28k = 35

I = 21j = 72k = 75

I = 24j = 32k = 40

I = 24j = 45k = 51

I = 24j = 70k = 74

I = 25j = 60k = 65

I = 27j = 36k = 45

I = 28j = 45k = 53

I = 30j = 40k = 50

I = 30j = 72k = 78

I = 32j = 60k = 68

I = 33j = 44k = 55

I = 33j = 56k = 65

I = 35j = 84k = 91

I = 36j = 48k = 60

I = 36j = 77k = 85

I = 39j = 52k = 65

I = 39j = 80k = 89

I = 40j = 42k = 58

I = 40j = 75k = 85

I = 42j = 56k = 70

I = 45j = 60k = 75

I = 48j = 55k = 73

I = 48j = 64k = 80

I = 51j = 68k = 85

I = 54j = 72k = 90

I = 57j = 76k = 95

I = 60j = 63k = 87

I=65 j=72 k=97，100以内。

初二数学常用的毕达哥拉斯数有哪些？

数学中常用的毕达哥拉斯数如下:

1、(3、4、5) (6、8、10)(5、12、13)

2、(8、15、17) (7、24、25)(9、40、41)

3、(10、24、26)(11、60、61)

4、(12、35、37)(48、55、73)

5、(12、16、20)(13、84、85)

6、(20、21、29)(20、99、101)

7、(60、91、109)(15、112、113)

扩展数据:

勾股数是勾股定理中三角形的三条边A、B、C满足A = B+C (A为斜边)。当搜索满足勾股定理的勾股数时，可以使用以下方法:

1.当A是大于1的奇数2n+1时，b = 2n+2n，c = 2n+2n+1。

其实就是把A的平方数拆分成两个连续的自然数，比如:

当n=1时，(a，b，c)=(3，4，5)

当n=2时，(a，b，c)=(5，12，13)

当n=3 (a，b，c)=(7，24，25)时

因为两个连续的自然数必然互质，所以这个例程得到的所有勾股数组都是互质的。

2.当a是大于4的偶数2n时，B = n-1，C = n+1。

即负1加1的半个a的平方，例如:

当n=3时，(a，b，c)=(6，8，10)

当n=4时，(a，b，c)=(8，15，17)

当n=5时，(a，b，c)=(10，24，26)

当n是奇数时，因为(a，b，c)是三个偶数，所以勾股数组不一定互质。

3.如果只想得到素数群，可以把第二个公式改成:对于a=4n(大于等于2)，b = 4n-1，c = 4n+1，例如:

当n=2时，(a，b，c)=(8，15，17)

当n=3 (a，b，c)=(12，35，37)时

当n=4时，(a，b，c)=(16，63，65)

百度百科-毕达哥拉斯数

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