z变换（z变换收敛域与极点的关系）

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z变换属性

z变换的性质大多与拉普拉斯变换相似，与K域密切相关。

复频域(Z域)变换的性质大多与拉普拉斯变换相似，与K域密切相关。复频域(Z域)变换的性质对单边z变换和双边z变换都适用，共有9个性质。其中，有标记的属性比较重要。

z变换具有线性、序列移位、时域卷积、频移和频域微分的性质。这些性质对于解决实际问题非常有用。它的性质可以直接从正负z变换的定义中导出。

拉普拉斯:

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯侯爵(1749年3月23日-1827年3月5日)，法国著名天文学家和数学家，天体力学大师。

1749年出生于法国西北部卡尔瓦省博蒙特-安戈泽，1816年当选法兰西学院院士，1817年出任总统。1812年，一本重要的著作《概率分析理论》出版，该书总结了当时关于概率论的全部研究，讨论了概率在选举审判调查和气象学中的应用，并介绍了拉普拉斯变换。

在拿破仑和路易十八时期，他两次被封为爵士。拉普拉斯是拿破仑的老师，所以和拿破仑结下了不解之缘。他于1827年3月5日在巴黎去世。

常数的z变换是什么？

常数z变换是离散序列的一种数学变换，常用于求线性定常差分方程的解。它在离散系统中的位置与拉普拉斯变换在连续系统中的位置相同。

z变换可以将时域信号(即离散时间序列)转换为复频域表达式。它在离散时间信号处理中的地位与拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位相同。

离散时间信号的z变换是分析线性时不变离散时间系统的重要工具。将线性定常离散时间系统的时域数学模型——差分方程转化为Z域的代数方程，简化了离散时间系统的分析，也可用于分析系统的时域特性、频率响应和稳定性。

z变换具有许多重要的特性，如线性、时移、微分、序列卷积和复卷积定理。这些性质在解决信号处理问题中起着重要的作用。其中，卷积特性最为典型。由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某一系统(或一系列各种系统)处理后输出所需的信号序列，所以首先要解决的问题是如何从输入信号和所用系统的特性中获得输出信号。

通过理论分析可知，如果直接在时域求解，输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位采样响应序列的卷积和，需要复杂的运算求卷积和才能得到输出信号。利用z变换的卷积特性可以大大简化这一过程。只要分别求出输入信号序列和系统的单位采样响应序列的z变换，然后求出两者乘积的逆变换，就可以得到输出信号序列。

这里的逆变换，即逆Z变换，是通过信号序列的逆Z变换来寻找原信号序列的一种变换方式。

目前有现成的类似拉普拉斯变换表的Z表。对于一般的信号序列，z变换可以直接从表中找到。所以，当然也可以从信号序列的z变换中找到原始信号序列，这样更容易找到信号序列的z变换。

为什么要引入z变换？

z变换是一种重要的信号分析工具，它将离散的时域信号(序列)转化为复平面上的复变量，可用于求解差分方程、频率响应和线性时不变系统的稳定性。引入z变换的主要原因如下:

离散信号是一系列离散的采样点，很难在时域进行分析。通过z变换，离散的时域信号可以转化为复平面上的连续函数，便于分析和处理。

z变换将时域序列的加法和乘法转化为复平面上的加法和乘法，便于分析信号的线性时不变系统，如求解差分方程、线性时不变系统的频率响应和稳定性等。

z变换广泛应用于数字信号处理，如数字滤波、数字信号压缩和数字信号编码。通过z变换，可以将数字信号处理问题转化为复平面上的函数处理问题，得到更简单方便的解。

总之，z变换的引入是为了更好地分析和处理离散时域信号，解决数字信号处理中的一系列问题。

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