三角形海伦公式（三角形海伦公式求面积）

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等边三角形的计算公式

等边三角形的内角之和是180度；∠ABC+∠BAC+∠BCA=180

三角形的一个外角等于另外两个内角之和。

三角形的一个外角比另外两个内角大。

勾股定理:A ^ 2+B ^ 2 = C ^ 2，其中A和B是直角三角形的两个直角，C是斜边。

正弦定理:a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R是三角形外接圆的半径)。

余弦定理:

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA

b^2=a^2+c^2-2ac*CosB

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC

三角形的面积公式

(1)S△=1/2ah (a为三角形的底边，H为底边对应的高度)。

(2)S△= 1/2 AC SINB = 1/2 BC SINA = 1/2 ABS Inc(三个角为∠A∠B∠C，对边分别为A、B、C，见三角函数)。

(3)s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)][p = 1/2(a+b+c)](海伦-秦九韶公式)

(4)S△=abc/(4R) (R是外接圆的半径)

(5)S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆的半径)

(6) | a b 1 |

S△=1/2 | c d 1 |

| e f 1 | で | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 |是一个三阶行列式，这个三角形ABC在平面直角坐标系中是A(a，b)，B(c，d)，C(e，f)。这里最好是从右上角开始按逆时针顺序选择ABC选区，因为结果一般。

(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)

(8)S正δ=[(√3)/4]A ^ 2(正三角形面积公式，其中A为三角形的边长)【海伦公式(3)特例】

用海伦公式求三角形的最大面积

海伦公式:边长分别为A、B、C，三角形的面积为SS=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]公式中，S为半周长:S = (A+B+C)/2 = (6+X+2x)/2 = 3+3x。

2那么:s =√[(3+3x/2)(3+3x/2-6)(3+3x/2-x)]=√(-9 x4/16+90 x2/4-81)=√。

秦海伦公式

海伦公式

海伦公式也被翻译成海伦公式、海龙公式、英雄公式和海伦-秦公式。传说是叙拉古国王赫伦二世发现的，利用三角形的三条边计算出三角形面积。但根据莫里斯·克莱因(Maurice Klein)1908年发表的考证，这个公式其实是阿基米德发现的，并以托西隆二世(未考证)的名字发表。我国宋代数学家秦也提出了与海伦公式基本相同的“三斜求积法”。

假设有一个边长为a、b、c的三角形，三角形的面积s可由下式求得:

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

公式中的p为半周长:

p=(a+b+c)/2

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注意:\\Metrica\\(计量学)在手稿中用S作为半圆周，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]都有可能，但通常以P为半周长。

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由于任何有n条边的多边形都可以分成n-2个三角形，海伦公式可以作为求多边形面积的公式。比如在测量土地面积的时候，不需要测量三角形的高度，只需要测量两点之间的距离，就可以很容易的推导出答案。

证明(1):

与海伦在Metrica中的原始证明不同，这里我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三条边A、B、C的对角线分别为A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

= 1/4 *√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2。

那么p = (a+b+c)/2，p-a = (-a+b+c)/2，p-b = (a-b+c)/2，p-c = (a+b-c)/2，

上式=√[(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(-A+B+C)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

因此，三角形ABC的面积为S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

证明(二):

我国宋代数学家秦也提出了“三对角求积”。和海伦的公式基本相同。其实《九章算术》里已经有一个求三角形的公式，就是“底乘半高”。实际测量土地面积时，因为土地面积不是三角形，所以不容易发现。所以他们想到了三角形的三条边。这样的话，求三角形的面积就方便多了。但是如何根据三条边的长度计算三角形的面积呢？直到南宋时期，我国著名数学家九韶提出了“三斜求积法”。

秦把三角形的三条边叫做小、中、大。“艺术”就是方法。三对角求积就是在一个大对角线上加一个小对角线，送到对角线上，取减法后余数的一半，乘以一个大对角线，送到上面得到的那个。减法后，冯将余数除以4得到的数视为“实”，1视为“角”。平方后，你得到面积。

所谓“实”和“角”，是指在方程px 2=qk中，p为“角”，q为“实”。δ，A，B，C用来表示三角形面积，大倾角，中倾角，小倾角，所以

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当p = 1且△ 2 = q时，

S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

因子分解

1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]

= 1/16(c+a+B)(c+a-B)(b+ c-a)(B- c+a)

= 1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此，我们可以得到:

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为“海伦-秦公式”。

海伦定律的公式

海伦公式也被翻译成海伦公式、海龙公式、英雄公式、海伦-秦公式。是利用三角形三条边的边长直接计算三角形面积的公式。表达式为:S=√p(p-a)(p-b)(p-c)。

海伦公式为计算三角形和多边形的面积提供了新的方法和思路。当已知三角形三条边的长度而不知道它们的高度时，利用海伦公式可以更快更简单地计算出面积。

比如在测量土地面积的时候，不需要测量三角形的高度，只需要测量两点之间的距离，就可以很容易的得到答案。

古希腊的数学发展到亚历山大，应用得到很大发展。最突出的一点是三角学的发展。在求解三角形的过程中，一个难题是如何利用三角形的三条边直接计算三角形的面积。

这个公式是古希腊数学家阿基米德绘制的，但人们往往以古希腊数学家海伦的名字命名，因为这个公式最早出现在海伦的《大地测量学》一书中，并在海伦的《测量仪器与计量学》一书中得到证明。

1247年，中国宋代数学家秦提出了“三对角求积”。虽然在形式上与海伦公式不同，但完全等同于海伦公式，填补了中国数学史上的一项空白，从中可以看出中国古代的数学水平很高。

三角形复合角公式

勾股定理:在直角三角形中，直角的平方和等于斜边的平方。c^2=a^2+b^2。

正弦定理:

A/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R为外接圆半径)。

余弦定理:

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=a^2+c^2-2accosB

c^2=a^2+b^2-2abcosC

面积公式:

1.海伦公式△a，B，C的三边分别是A，B，C，p=(a+b+c)/2。

S(abc)=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]是海伦求三角形三边面积的公式。

2.已知三角形的底a和高h，则S = ah/2。

3.给定三角形的两条边，A和B，这两条边之间的夹角为C，那么S = ABS Inc/2。

4.设三角形的三条边分别为A、B、C，内切圆的半径为R..

那么三角形面积=(a+b+c)r/2。

5.设三角形的三条边分别为A、B、C，外接圆半径为R..

三角形面积=abc/4r。

6.给定三角形的三条边A、B和C，那么S = √ {1/4 [C 2A 2-((C 2+A 2-B 2)/2) 2]}

7.用三阶行列式求面积

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

(注意，绝对值是在上面公式的最后取的。)

| a b 1 |

| c d 1 |

| e f 1 |

它是直角坐标系中坐标为A (a，B)，B (c，d)，C (e，f)的三阶行列式。

三角形的周长:

L=a+b+c

三角形的内角及其公式:

∠A+∠B+∠C=180。

如何计算三角形的长、宽、高

三角形(非直角三角形)的边长可以用余弦定理求:a的平方= b的平方+C * BC * cos的角a的平方。

如果是直角三角形，可以用沟定理证明:a的平方= b的平方+c的平方。

三角形的高度:

方法一:用海伦公式计算三角形面积，根据面积公式S=ah/2计算底边的高度。

方法二:用余弦定理求一个内角的余弦值，然后转换成正弦值，最后通过解直角三角形求高度。

方法三:三角形的一个高度将三角形分成两个有共同直角边的直角三角形，用勾股定理建立方程求高度。

还有，比如解析法，向量法等等。

海伦公式的推导公式

海伦公式:

利用三角形三条边的边长直接计算三角形面积的公式。(A、B、C分别是三角形三条边的边长，P是三角形周长的一半)。

简介:

海伦公式也被翻译成海伦公式、海龙公式、英雄公式、海伦-秦公式。是利用三角形三条边的边长直接计算三角形面积的公式。表达式为:S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，特点是形式美观，容易记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德绘制的。因为这个公式最早出现在海伦的《大地测量学》一书中，所以被称为海伦公式。中国和秦也提出了类似的公式，这就是所谓的三斜求积。

公式含义:

海伦公式为计算三角形和多边形的面积提供了新的方法和思路。当我们知道三角形三条边的长度而不知道高度时，利用海伦公式可以更快更简单地求出面积。比如在测量陆地面积的时候，我们不需要测量三角形的高度，只需要测量两点之间的距离，就可以很容易的推导出答案。

海伦公式的几何证明

海伦的公式用几何证明是有说服力的，但在我看来，可以用一个三角形的面积除以三个三角形之和来求解，从而得到一个三角形的面积公式和三角形恒等式:在△ABC中，有

Sin2A+Sin2B +Sin2C = 4SinA新浪新浪

所以sin(3π/7)+sin(2π/7)-sin(π/7)= 7的根号的一半。

需要注意的是，海伦公式可以证明勾股定理，但是用勾股定理代替海伦公式证明似乎不妥，也就是我们常说的勾股定理是余弦定理的特例，勾股定理只能推广到零分余弦定理。

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