集合与函数概念（幂函数概念）

今天我来介绍集合和函数的概念，以及幂函数概念对应的知识点。希望对你有帮助，也别忘了收藏这个网站。

高中数学必修1知识点

高一必修数学各章节知识点总结。

第一章是集合与函数的概念。

一.相关概念的收集

1.集合的含义:将一些指定的对象集合在一起形成一个集合，每个对象称为一个元素。

2.集合中元素的三个特征:

1.元素决定论；2.元素的相互各向异性；3.元素的无序

描述:(1)对于给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象要么是给定集合的元素，要么不是。

(2)在任何给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象。当同一对象包含在一个集合中时，它只有一个元素。

(3)集合中的元素相等，没有顺序。所以判断两个集合是否相同，只需要比较它们的元素是否相同，不需要考察排列顺序是否相同。

(4)集合元素的三个特征使得集合本身具有确定性和整体性。

3.集合的表示:{…}如{我校篮球运动员}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

1.用拉丁字母代表集合:A={我校篮球运动员}，B={1，2，3，4，5}。

2.集合的表示方法:枚举和描述。

注:常用数字组及其符号:

非负整数集(即自然数集)记为n。

正整数集N*或N+整数集z有理数集q实数集r

关于“归属”的概念

集合中的元素通常用小写拉丁字母表示。例如，如果A是集合A的元素，则表示A属于集合A，标记为A∈A；另一方面，如果a不属于集合a，则标记为a？A

枚举:逐个枚举集合中的元素，然后用大括号括起来。

描述:描述集合中元素的公共属性并将它们写在大括号中以表示集合的方法。一种指示某些对象在特定条件下是否属于该集合的方法。

①语言描述:示例:{不是直角三角形的三角形}

②数学表达式的描述:例:不等式x-32的解集是{x？R| x-32}或{x| x-32}

4、集合的分类:

1.有限集包含一组有限元素。

2.无限集合包含无限元素集合。

3.没有任何元素的空集的示例:{x | x2 =-5}

二、集合之间的基本关系

1.“包容”关系-子集

注意:有两种可能:(1)A是B的一部分；(2)A和B是同一个集合。

另一方面，集合A不包含在集合B中，或者集合B不包含集合A，所以记为A B或B A。

2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

例:设a = {x | x2-1 = 0} b = {-1，1}“元素相同”。

结论:对于两个集合A和B，如果集合A的任意元素是集合B的元素，集合B的任意元素是集合A的元素，我们说集合A等于集合B，即A = B。

(1)任何集合都是其自身的子集。

②真子集:若AíB和A1 B，则集合A是集合B的真子集，标为A B(或B A)。

③如果aí b和bí c，那么aí c。

④如果AíB和BíA同时存在，那么a = b。

3.没有任何元素的集合称为空集合，记为φ。

规定空集合是任意集合的子集，空集合是任意非空集合的真子集。

第三，套的操作。

1.交的定义:一般来说，属于A和B的所有元素的集合称为A和B的交.

写A∩B(读作“A到B”)，即A∩B={x|x∈A，x ∈ b}。

2.并的定义:一般来说，由属于集合A或集合B的所有元素组成的集合称为A和B的并，它被标记为A∪B(读作“A和B”)，即A∪B={x|x∈A，或x ∈ b}。

3.交与并的性质:A∩A = A，A∩φ=φ，A∪B = B∪A，A∪A = A，

A∪φ= A，A∪B = B∪A .

4.完整的作品和补充

(1)补集:设S是一个集合，A是S的子集(即由S中不属于A的所有元素组成的集合)，称为S中子集A的补集(或补集)..

注意:CSA是CSA ={x | x？s和x？A}

S

CsA

A

(2)完备集:若集合S包含了我们要研究的每个集合的所有元素，则可视为完备集，通常用u表示.

(3)性质:(1)Cu(cua)= A2(cua)∩A =φ3(cua)∪A = u。

二、函数的相关概念

1.函数的概念:设a和b是数空的集合。若集合A中任意一个数X根据某种对应关系F有唯一的数f(x)与之对应，则F: A → B称为集合A到集合B的函数.注:y = F(X)X的值对应的Y的值称为函数值，函数值集{f(x)| x∈A}称为函数的值域。

注:2如果只给出解析式y=f(x)而没有指定其定义域，则函数的定义域是指能使这个公式有意义的实数集合；函数的定义和值域应以集合或区间的形式书写。

领域补充

能使函数有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数定义域的主要依据是:(1)分数的分母不等于零；(2)偶数根的个数不小于零；(3)对数公式的真值必须大于零；(4)指数和对数基数必须大于零且不等于1。(5)如果一个函数是由一些基本函数通过四则运算组成的，那么它的定义域就是x的一组使所有部分都有意义的值。(6)指数基数不能等于零。(6)实际问题中函数的定义域也要保证实际问题有意义。

(还要注意，求不等式组的解集是函数的定义域。)

函数的三要素:定义域、对应关系和值域。

再次注意:(1)构成函数的三要素是定义域、对应和值。因为值域是由定义域和对应关系决定的，如果定义域和对应关系完全一致，就说这两个函数相等(或同一个函数)。(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，不考虑代表自变量和函数值的字母。相同功能的判断。(2)域一致性(必须同时满足两点)

(见教材第21页相关例2)

值域补充

(1)函数的值域取决于定义域和相应的定律。无论采用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑定义域。(2)你要熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的值域，这是求解复变函数值域的基础。

3.函数图像知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中，以函数y = f (x)和(x ∈ a)中的x为横坐标，以函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合c称为函数y = f (x)和(x ∈ a)的像。

c上各点的坐标(x，y)满足函数关系y=f(x)。另一方面，对于每组满足y=f(x)的有序实数，坐标为x和y的点(x，y)都在c上，即记为c = {p (x，y) | y = f (x)。

图像c一般是一条光滑连续的曲线(或直线)，也可能是由几条曲线或离散的点组成，它与任意一条平行于Y轴的直线最多有一个交点。

(2)绘画

A.点追踪法:根据分辨函数和定义域，找到x和y的一些对应值并列出，在以(x，y)为坐标的坐标系中追踪对应的点p (x，y)，最后用光滑曲线连接这些点。

b、图像变换法(请参考必修4三角函数)

常用的变换方法有三种，即平移变换、展开变换和对称变换。

(3)功能:

1.直观地看到函数的本质；2.分析数形结合的解题思路，提高解题速度。

在解题中发现错误。

4.理解音程的概念。

(1)区间分类:开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无限区间；(3)区间的数轴表示。

5.什么是映射？

一般来说，设A和B是两个不是空的集合。如果集合A中的任意一个元素X根据某个对应规则F有唯一的元素Y与之对应，那么对应关系F: A B称为集合A到集合B的映射，标为“F: A B”。

给定一个从集合A到集合B的映射，如果A ∈ A，B ∈ B和元素A对应于元素B，那么我们称元素B是元素A的象，元素A是元素B的原象。

注:函数是特殊的映射，映射是特殊的对应。①集合A，B和相应的规则F是确定的；(2)对应规则是有方向性的，即强调从集合A到集合B的对应，一般不同于从B到A的对应；③对于映射F: A → B，应满足:(I)集合A中的每个元素在集合B中都有一个像，且该像是唯一的；(ii)集合A中的不同元素和集合B中的对应图像可以是相同的；(ⅲ)不要求集合B中的每个元素在集合a中都有一个原像.

常见的函数表示法及其各自的优点；

1.函数图像可以是连续曲线、直线、折线、离散点等。注意判断一个图形是否是函数图像的基础；2解析方法:必须指定函数的定义域；3镜像法:描点法作图要注意:确定函数的定义域；简化函数的解析式；观察函数的特性；列表法:选取的自变量应具有代表性，反映该领域的特点。

注:解析法:很容易计算函数值。列表法:很容易求出函数值。镜像法:方便测量函数值。

补充1:分段函数(见教科书P24-25)

在域的不同部分有不同的解析表达式函数。在不同范围内求函数值时，必须将自变量代入相应的表达式。分段函数的解析表达式不能写成几个不同的方程，而是把函数值的几个不同的表达式写成并括在一个左括号里，分别代表各部分的自变量值。(1)分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

补充2:复合函数

若y=f(u)，(u∈M)，u=g(x)，(x∈A)，则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为F与g的复合函数.

例如:y=2sinX y=2cos(X2+1)

7.函数的单调性

(1).增量函数

设函数y=f(x)的定义域为I，若任意两个自变量x1和X2在定义域I内的区间D内，当X1

高中必修数学1第一章集合和函数的概念怎么学？

1.找出两个错误。

(1)“函数”和“映射”的概念很容易混淆:函数是一种特殊的映射，它不一定是函数，而是从A到B的映射，如果A和B不是数集，那么这个映射就不是函数。

(2)分段函数是一个函数，不是几个函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段定义域的并集。

2.解析函数的四种常见解法。

(1)匹配法:从已知的条件f (g(x)) = F(x)，可以将F(x)改写成一个关于g(x)的表达式，然后用X代替g(x)就可以得到f(x)的表达式；

(2)待定系数法:如果已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(3)换元法:给定复合函数f(g(x))的解析式，可采用换元法。这时候要注意S $的区间；

(4)方程组法:给定f(x)和fx(1)或F (-x)的表达式，我们可以根据已知条件构造另一个方程组成方程组，然后求解方程组求F (x)。

高中数学合集知识点总结

一.相关概念的收集

1.集合的含义:将一些指定的对象集合在一起形成一个集合，每个对象称为一个元素。

2.集合中元素的三个特征:

(1)要素的确定性；②元素的相互各向异性；③.元素的无序

描述:(1)对于给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象要么是给定集合的元素，要么不是。

(2)在任何给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象。当同一对象包含在一个集合中时，它只是一个元素。

(3)集合中的元素相等，没有顺序。所以判断两个集合是否相同，只需要比较它们的元素是否相同，不需要考察排列顺序是否相同。

(4)集合元素的三个特征使得集合本身具有确定性和整体性。

3、集合的分类:

1.有限集包含一组有限元素。

2.无限集合包含无限元素集合。

3.没有任何元素的空集的示例:{x | x2 =-5}

4.集合的表示:{…}如{我校篮球运动员}、{太平洋大西洋印度洋北冰洋}

1.用拉丁字母代表集合:A={我校篮球运动员}B={12345}

2.集合的表示方法:枚举和描述。

注:常用数字组及其符号:

非负整数集(即自然数集)记为n。

正整数集N*或N+整数集z有理数集q实数集r

关于“归属”的概念

集合中的元素通常用小写拉丁字母表示。例如，如果A是集合A的元素，则表示A属于集合A，标记为A∈A；另一方面，如果a不属于集合a，则标记为a？A

枚举:逐个枚举集合中的元素，然后用大括号括起来。

描述:描述集合中元素的公共属性并将它们写在大括号中以表示集合的方法。一种指示某些对象在特定条件下是否属于该集合的方法。

①语言描述:示例:{不是直角三角形的三角形}

②数学表达式的描述:例:不等式x-32的解集是{x？R| x-32}或{x| x-32}

二、集合之间的基本关系

1.“包含”关系的子集

注意:有两种可能:(1)A是B的一部分；(2)A和B是同一个集合。

另一方面，集合A不包含在集合B中或集合B不包含集合A，集合A被标记为A B或B A。

2.没有任何元素的集合称为空集合，记为φ。

规定空集合是任意集合的子集，空集合是任意非空集合的真子集。

3.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

例:设A={x|x2-1=0} B={-11}“元素相同”。

结论:对于两个集合A和B，如果集合A的任意元素是集合B的元素，集合B的任意元素是集合A的元素，我们说集合A等于集合B，即A = B。

(1)任何集合都是其自身的子集。回答？A

②真子集:如果a？b和a？B然后说集合A是集合B的真子集，写成A B(或者B A)。

3如果a？B B？c所以a？C

4如果a？同时吗？那么A=B

第三，套的操作。

1.并的定义:一般来说，由属于集合A或集合B的所有元素组成的集合称为AB的并。注:A∪B(读作“A和B”)表示A∪B={x|x∈A，或x∈B}。

2.交集的定义:一般来说，属于A和B的所有元素的集合称为AB的交集。

写A∩B(读作“A到B”)，即A∩B={x|x∈A，x∈B}。

3.完整的作品和补充

(1)补集:设S是一个集合，A是S的子集(即由S中不属于A的所有元素组成的集合)，称为S中子集A的补集(或补集)..

注:CSA是CSA ={x？x？s和x？A}

(2)全集:如果集合S包含了我们要研究的每一个集合的所有元素，这个集合就可以看作是一个全集。通常用u表示。

(3)性质:(1)Cu(cua)= A2(cua)∩A =φ3(cua)∪A = u。

4.交与并的性质:A ∩ A = A ∩ φ = φ A ∩ B = B ∩ A，A ∪ A = A。

A∪φ= A A∪B = B∪A

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