矩阵行列式（矩阵行列式不等于0意味着什么）

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如何求一个矩阵的行列式？

求矩阵的行列式。如果矩阵的阶小于3，可以用对角法则计算矩阵的行列式。如果大于3，可以转化为三角矩阵，三角矩阵的行列式是对角元素的乘积。

n×n矩阵的行列式等于任意行(或列)中的元素与对应的代数余因子的乘积之和。

利用矩阵的性质可以简化矩阵。矩阵的初等变换不改变矩阵的行列式。

扩展数据:

矩阵行列式的基本定理；

1.设A为n×n矩阵，则det(A转置)=det(A)。

n的证明用数学归纳法证明。显然，这个结论对n=1成立，因为1×1矩阵是对称的。假设这个结论对所有k×k矩阵也成立。对于(k+1)×(k+1)矩阵A，根据A的第一行展开det(A)，我们有:

det(A)= a11 det(M11)-a12 det(M12)+-…a1，k+1det(M1，k+1)。

因为Mij是k×k矩阵，所以通过归纳假设有

2.设A是一个n×n三角矩阵。那么a的行列式等于a的对角元素的乘积。

根据定理1，只需要证明结论对于下三角矩阵成立。利用余子式的展开和n的诱导可以很容易地证明这个结论。

3.设A是一个n×n矩阵。

如果A有一行或一列包含所有零元素，则Det(A)=0。

如果A的两行或两列相等，det(A)=0。这些结论很容易用余因子展开式来证明。

如何计算矩阵的行列式

具体计算方法如上图所示。

扩展信息:

决定性因素

在数学中，行列式是定义域为det的矩阵A的函数，其值为标量，记为det(A)或| A |。行列式可以看作是欧几里得空中有向面积或体积概念的推广。换句话说，在N维欧几里德空中，行列式描述了一个线性变换对“体积”的影响。

行列式的基本性质

1.性质1:秩和列互换，行列式的值不变。

2.性质二:交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

3.推论:如果一个行列式中两行(列)的对应元素相同，那么这个行列式的值为零。

4.性质3:如果一个行列式的一行(列)中的所有元素都有一个公因数k，那么k可以提到行列式之外。

5.推论一:数k乘以行列式等于数k乘以行列式的某一行(列)。

6.推论二:如果一个行列式中的两行(列)元素成正比，则该行列式的值为零。

7.性质4:如果行列式中一行(列)的每一个元素都是两个数之和，那么这个行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其他行(列)与原行列式相同。

8.性质5:将行列式的一行(列)的k乘以另一行(列)，行列式的值不变。

如何计算矩阵行列式？

n×n平方A的行列式表示为det(A)或|A|，2×2矩阵的行列式可表示为:

N阶行列式中元素aij的第I行第J列划掉后，剩下的n-1阶行列式称为元素aij的余因子，记为Mij。设aiji = (-1) i+jmij，称为元素aiji的代数余子式。例如:

n×n矩阵的行列式等于任意行(或列)中元素与对应的代数余因子的乘积之和，即:

扩展数据:

1.定理1:

设a是一个n×n三角矩阵。那么a的行列式等于a的对角元素的乘积。

根据定理1，只需要证明结论对于下三角矩阵成立。利用余子式的展开和n的诱导可以很容易地证明这个结论。

二、定理2:

设a是一个n×n矩阵。

1.如果A有一行或一列包含所有零元素，det(A)=0。

2.如果A的两行或两列相等，det(A)=0。

这些结论很容易用余因子展开式来证明。

矩阵的行列式是什么？

矩阵行列式是指一个矩阵的所有元素组成的行列式。设A = (aiji)是数域P上的n阶矩阵，则A = (aiji)中所有元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。行列式的意义是变换后空之间的展开系数。要理解行列式，首先要理解向量的叉积。

三维矩阵的行列式是由三个向量展开的体积。

变换是用特征向量展开的坐标系中的对角矩阵。对角线上的数字是相应基向量的特征值。特征值表示矩阵对单位基向量的缩放因子。也就是说，特征值表示一个维度映射到另一个维度的缩放比例空。

对角矩阵的行列式等于特征值的乘积。这个不难直接从特征值和行列式的意义得到。

如果行列式不为零，则意味着变换对每个维度的缩放不为零。所以这个映射是可逆的。矩阵是满秩的。原空与映射空之间的维数相等，映射空与原空之间的体积展开倍数等于行列式，等于每个维数的缩放倍数的乘积，即等于所有特征值的乘积。

如果行列式为零，则意味着转换将至少一个维度压缩为零。所以这个映射是多对一的，矩阵是不可逆的。矩阵不是满秩的。原始空和映射的空之间的维度不相等，映射的空维度减少。向量空在矩阵映射后被压缩。

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