皮亚诺曲线（皮亚诺曲线和希尔伯特曲线）

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皮亚诺曲线是从皮亚诺曲线引入的。

1.peano曲线是曲线序列的极限，它不再是通知常数定义的曲线。

2.“曲线”应该解释为“曲线的极限”。只要选择合适的路径选择函数，就可以画出连续的参数曲线。当参数t在0和1的范围内时，曲线将遍历单位正方形内的所有点，得到一条填充有空的曲线。

3.皮亚诺曲线是一条连续的非导数曲线。

什么是皮亚诺曲线？

皮亚诺曲线是一条奇怪的曲线。只要函数和由定义的一条连续参数曲线选择得当，当参数t在0，1范围内时，曲线将遍历单位正方形内所有点，得到一条充满空的曲线，这是一条连通但不可导的曲线。

如何构造peano曲线？

皮亚诺曲线(非希尔伯特曲线)的构造如下:

取一个正方形，分成9个相等的小方块，然后从左下角的方块开始到右上角的方块，依次用线段连接小方块的中心。

接下来，将每个小方块分成九个相等的方块，然后用上述方法连接中心...如果这个操作过程无限地进行下去，极限情况的曲线可以充满整个平面。

希尔伯特曲线和实数的不可数性

1877年，康托尔给出了一维到二维的一一映射。1890年和1891年，皮亚诺和希尔伯特分别给出了一条可以充满整个平面的曲线。

希尔伯特曲线是将一个大正方形分成九个小正方形，然后将每个小正方形分成更小的正方形而形成的曲线。这其实是一个递归的过程。

也可以认为希尔伯特曲线是在上述基础上连接小方块中心点得到的曲线。在本节的讨论中，这两种表示没有区别。在下面通过中间线切一条直线的过程中，我们可以发现这两条曲线与直线的交点是一一对应的。

以上内容参考来源:百度百科-皮亚诺曲线

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