共线向量（共线向量的投影）

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什么是共线矢量？

共线矢量是平行矢量。方向相同或相反的非零向量称为平行向量，标为A∑b，任何一组平行向量都可以移动到同一条直线上，所以称为共线向量。

共线向量的基本定理是:如果a≠0，那么向量B和A共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得B = λ A。..

1)充分性:对于向量a(a≠0)和b，如果有一个实数λ使得b=λa，那么从实数和向量的乘积的定义来看，向量a和b共线。

2)必要性:已知向量a和b共线，a≠0，向量b的长度是向量a长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣.那么当向量A和B方向相同时，设λ=m，其中b =λa，当向量A和B方向相反时。

3)唯一性:若b=λa=μa，则(λ-μ)a=0。但是因为a≠0，λ = μ。

扩展数据

共线矢量的来源:

虽然向量这个术语来自于汉密尔顿，但是向量作为有向线段的想法由来已久。向量理论的起源和发展有三条主线:物理学中的速度和力的平行四边形定律、位置几何和复数的几何表示。

物理学中速度和力的平行四边形概念是矢量理论的重要来源之一。18世纪中期以后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西的工作直接导致了19世纪中期矢量力学的建立。同时，向量的概念是现代数学中重要的基本概念之一，有着深厚的几何背景。它始于莱布尼茨的位置几何。

百度百科-共线向量基本定理

共线向量的概念

当两个矢量方向相同或相反时，称它们共线且平行。

若A和B共线，则b=λa (λ≠0)。

向量共线性的公式是什么？

向量m=(a，b)，向量n=(c，d)。当它们共线时，ad=bc。

数量共线性的充要条件；

若向量a与向量b共线(b为非零向量)，则a=λb(λ为实数)。

向量A和向量B共线的充要条件是A和B线性相关，即有两个不全为0的实数λ和μ，使得λa+μb=0。

更一般地说，如果A = (P1，P2) B = (Q1，Q2)在平面内，则A∨B的充要条件是P1 Q2 = P2 Q1。

数据扩展

在数学中，向量(又称欧几里得向量、几何向量、矢量)是指具有大小和方向的量。可以想象成带箭头的线段。箭头指示矢量的方向；线段长度:表示向量的大小。只有大小对应矢量，没有方向的量叫做量(物理学上叫标量)。

向量记法:用粗体字打印字母(如A、B、U、V)，书写时在字母顶端加一个小箭头“→”。如果给定了向量的起点(a)和终点(b ),向量就可以记为AB(并加到顶部→)。

在空之间的直角坐标系中，向量也可以用几对的形式表示。例如，氧平面中的(2，3)是一个矢量。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为向量。很多物理量都是矢量，比如物体的位移，球撞墙对其施加的力等等。反之则是标量，即只有大小没有方向的量。一些与向量有关的定义也与物理概念密切相关。比如，向量势对应的是物理学中的势能。

在线性代数中抽象出几何向量的概念，得到了更一般的向量概念。这里，向量被定义为vector 空之间的元素。需要注意的是，这些抽象向量不一定用数对来表示，大小和方向的概念也不一定适用。所以在平日阅读时，需要根据上下文来区分文中的“向量”是一个什么样的概念。

但是，我们仍然可以在向量空之间找到一个基来设置坐标系，也可以通过选择一个合适的定义来定义向量空之间的范数和内积，这使得我们能够将抽象的向量与具体的几何向量进行比较。

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