特征多项式（特征多项式展开公式）

今天我就来介绍一下特征多项式，以及特征多项式展开的对应知识点。希望对你有帮助，也别忘了收藏这个网站。

什么是特征多项式？

解决方案:

1.将|λE-A|的行(或列)相加。如果相等，把相等的部分(第一个因子)拿出来，剩下的就是一个二次多项式，肯定可以分解因子。

2.当|λE-A|的一行(或一列)中的两个元素之一为零时，往往存在一个公因数。提出来的时候，剩下的就是二次多项式了。

3.根测试因子分解。

扩展数据

自然:

当a是上三角矩阵(或下三角矩阵)时，

主对角线上的元素在哪里？对于二阶方阵，特征多项式可表示为

。一般来说，如果，那么

。

此外:

(1)特征多项式在基变化下不变:若有可逆方阵C，设

，那么。

(2)对于任意两个方阵，都有。一般来说，如果a是矩阵，b是矩阵，那么。

(3)凯利-汉密尔顿定理:

。

百度百科-特征多项式

矩阵的特征多项式是什么？

矩阵的特征多项式是λ e-a的行列式。

λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；|λI-A|=0称为A的特征矩阵，由此得到的所有根都是A的特征值，对于每个特征值λ，齐次方程(λI-A)x=o的基本解是1，2，3...s，那么k11+k22+...kss是A对应于λ的所有特征向量(其中k1...ks不全为零)。

应注意多项式的排列:

1.因为单项中包含了前面的属性符号，所以每一项的属性符号在排列时仍应视为该项的一部分，一起移动。

2.排列两个或两个以上字母的多项式时，首先要确认要排列哪个字母的索引，根据这个字母确定是降序排列还是升序排列。

3.几个单项式的和称为多项式。在多项式中，每个单项式称为多项式项，不带字母的项称为常数项。有几项的多项式叫做多项式。

4.多项式的次数:次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。

5.多项式排列:按字母索引从大到小排列一个多项式称为按字母降序排列多项式；按字母的指数从小到大排列一个多项式，叫做按这个字母的升序排列多项式。

线性代数中的特征多项式是什么？求其概念。

为了理解特征多项式，我们需要知道特征值和特征向量，它们是相关的:

设a为n阶矩阵，若数λ与n维非零列向量x有关。

Ax=λx

如果为真，那么这样的数λ称为方阵A的特征值，非零向量X称为特征值λ对应的A的特征向量。

然后，我们也可以转换关系:

(A-λE)x=0

其中e是单位矩阵。

这是一个有n个未知数和n个方程的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当系数行列式为0，即

|A-λE|=0

通过带入具体的数字或符号，我们可以看到这个公式是n次的一元方程，λ未知，称为方阵A的特征方程，左端。

|A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

至此，特征多项式的定义已经表述完毕。

特征多项式怎么做？

你应该能把这个应用到更高的层次。不一定要假设三阶，可以假设n阶。

因为对称多项式必须有n个根(多个根计为倍数)，所以特征多项式可以设置为。

|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)

λ n，λ (n-1)和常数项的系数很容易找到。至于其他的，不具有代表性，一般不研究，只是在特殊场合偶尔考虑。

λ n左右两边的系数明显是1(主要是左边，右边实际上应该是左边的1)。请注意，只有(λ-a11)(λ-a22)...在左边的行列式中有λ-ann，所以系数为1。

λ (n-1)系数，注意左边(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)在这个加法中，由于行列式定义中的每一个加法都是不同行不同列不同元素的乘积，所以如果缺一个(λ-aii)，那么就一定缺一个。注意，他的λ (n-1)的系数是a11+a22+...+ann(这个叫矩阵的迹，顺便问一下，只要相似矩阵的迹相同，是否可以对角化)。接下来看右边，λ (n-1)的系数显然是所有特征值的和。

这就引出了一个很重要的结论，矩阵的迹等于所有特征值之和(这个依赖关系有n个特征值)

还有一个常数项，比较简单。如果两边都使λ=0，结果就是常数项。

很容易得到另一个重要结论:矩阵的行列式等于期望特征值的乘积(这也取决于它有n个特征值)。

特征多项式唯一吗？

特征多项式是唯一的。

特征值是矩阵固有的，由特征多项式唯一确定。但特征向量不唯一，因为它来源于齐次线性方程组的解，是齐次线性方程组基础解系的非零线性组合，所以不唯一。

简介

在实际中，大型矩阵的特征值是无法用特征多项式来计算的，而多项式的计算本身就需要大量的资源。对于高次多项式，很难计算和表达精确的“符号”根。Abel-Ruffini定理表明，高次(5或更高次)多项式的根不能简单地用n阶平方根来表示。

有有效的算法来估计多项式的根，但是特征值的小误差会导致特征向量的大误差。求特征多项式零点即特征值的一般算法是迭代法。最简单的方法是幂法:取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。

什么是特征多项式？

对于求解线性递归级数，我们经常使用母函数法，而对于常系数线性递归级数，母函数是有理分式，分母是特征多项式。

n*n的矩阵A的特征多项式是|A-λE|，其中E是n * n的单位矩阵。

特征多项式的介绍到此结束。感谢您花时间阅读本网站的内容。别忘了在这个网站上搜索更多关于特征多项式及其展开式的信息。

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