关于悖论，首先要明白什么是悖论。在《数学百科全书》一书中，对悖论是这样解释的:当可以推导出与一般判断相反的结论，但很难给出恰当的依据来推翻它时，这种论证就叫做悖论。其实简单来说，所谓悖论，就是从这样一个命题A可以推导出另一个命题B，但是这个明天本身就有一个自相矛盾的现象:如果B为真，就推导出B为假；如果b为假
关于悖论，首先要明白什么是悖论。
在《数学百科全书》一书中，对悖论是这样解释的:当可以推导出与一般判断相反的结论，但很难给出恰当的依据来推翻它时，这种论证就叫做悖论。其实简单来说，所谓悖论，就是从这样一个命题A可以推导出另一个命题B，但是这个明天本身就有一个自相矛盾的现象:如果B为真，就推导出B为假；如果b是假的，就会推导出b是真的。
如果我们划分公认的悖论，它可以分为这三类:
（1）一个论断看嘉文社百科起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。
如果你还没看懂，那就来说几个大家熟悉的悖论吧！首先，我想和大家分享一个大家最熟悉的堂吉诃德悖论。
著名小说《唐吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。
有一天，一个游客来到这个国家，他在文佳社会百科上回答上述问题时回答说:“我是来吊死的。”如果游客回答正确，按照法律规定，不应该被吊死；如果游客的回答是错的，按照法律应该被吊死，他的“我是来吊死的。”这句话明显又对了，不应该挂。最后，国王别无选择，只能让游客离开。
另外，我想你也应该记得理发师悖论和祖父悖论。
巴伯悖论
这是罗素集合悖论的一种通俗说法：萨维尔村里的一名理发师，给自己立了一条店规：“只给自己不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发嘉文社百科师的脸该不该由自己刮呢？如果理发师的脸由他自己刮，则他属于“自己给自己刮脸的人”，因此，理发师不应该给自己刮脸；如果理发师的脸不由自己刮，则他属于“自己不给自己刮脸的人”，因此，他的脸可由自己刮，显然又与上述“自己不给自己刮脸的人”相矛盾。
祖父悖论
祖父悖论又称“祖母悖论”，是时间旅行的悖论，也是科幻故事中常见的主题。它是由法国科幻作家勒内·巴尔贾维尔在他1943年的小说《旅行者冲动》中首次提出的。场景如下:
假设你回到过去，在你父亲出生前杀死了你的祖父母；因为你爷爷奶奶去世了，就没有爸爸了；没有你的父亲，你就不会出生；没有人会在你出生前杀死你的祖父母；如果没人杀你爷爷奶奶，你就存在并回到过去杀了你爷爷奶奶，然后矛盾就产生了。
接下来，我们将继续谈论与三次数学危机相关的悖论。
1、二分法悖论
故事是这样的。让我们假设一个人在到达目的地之前必须走1/2的距离，然后走总距离的剩余1/2，再走剩余的1/2...按照这个要求，一个人可以无限地走下去。。。
所以有两种情况:①这个人根本没开始；只要他开始，就永远不会到达终点。(虽然已经接近尾声了)
其实现在想来，这个悖论在逻辑上是错误的。
2.贝克勒悖论
17世纪，牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分，给全世界的数学发展带来了新的曙光。然而，就在这个时候，他们跳出来指出了这样一个问题:
1734年，英国哲学家乔治·贝克勒(George Bekele)出版了一本名为《一个分析师或给一个不信的数学家的建议》的书。
在这本书中，贝克勒抨击了牛顿的理论，指出在求x的导数时，会出现以下矛盾:
贝克勒认为这是一个不科学但被双误的正确结果。
但是，这个问题并没有阻碍微积分的发展。随着下拉格朗日、柯西等数学家的改进，微积分仍然是当前数学研究中重要的基础内容。
3.罗素悖论
1900年，在国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱高调宣称:“...借助集合论的概念，我们可以建造整个数学大厦...今天，我们可以说已经达到了绝对的严格……”
然而，罗素提出了一个悖论:
所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合，包不包含自身，都必将引发矛盾。
如果你不能理解这个悖论，请直接参考巴伯悖论。
危机爆发后的很长一段时间，数学家们试图限制“集合论”的定义，然后消除悖论。但是，不能排除悖论的可能。
直到1931年，哥德尔提出了一系列不完整的定理并加以证明。
①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。
②如果一个形式系统包含初等数论，当该系统自洽(所有公理互不矛盾)时，其自洽性不能在该系统中得到证明。
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