有理数是什么（有理数是什么意思举个例子）

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什么是有理数？

有理数的概念:

有理数是整数(正整数0，负整数)和分数的统称。正整数和分数统称为正有理数，负整数和分数统称为负有理数。因此，有理数集的个数可分为正有理数、负有理数和零。

一、有理数的定义

有理数有两种，即正有理数，包括正整数和正分数；负有理数，包括负整数和负分数。

1.正有理数指的是数学术语。除了负数，零和无理数，正有理数可以精确地表示为两个整数的比值。

2.负有理数是小于零的数，可以用小数表示。比如-3，123，-1，，，。

3.有理数是“数与代数”领域的重要内容之一，在现实生活中应用广泛，是继续学习实数、代数表达式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容及相关学科的基础。

有理数的集合可以用大写黑色正字法符号Q来表示，但Q不代表有理数。有理数集合和有理数是两个不同的概念。有理数集合是所有有理数的集合，有理数是有理数集合中的所有元素。

二、有理数名称的由来

“有理数”这个名字令人费解，有理数并不比其他数更“合理”。其实这似乎是翻译上的一个错误。有理数一词来源于西方，在英语中是有理的。理性通常是“理性”的意思。中国按照日本的翻译方法，把近代的西方科学著作翻译成“有理数”。不过这个词来源于古希腊，它的英文词根是ratio，意思是比率(这里的词根是英文，希腊语的意思是一样的)。所以这个词的意思也很明确，就是整数的“比”。相比之下，“无理数”是一个不能精确表示为两个整数之比的数，但也不是没有道理。

第三，对有理数的理解。

由于任何整数或分数都可以转化为循环小数，反之亦然，所以每个循环小数也可以转化为整数或分数，所以有理数也可以定义为循环小数。

有理数集是整数集的扩展。有理数集合中，加减乘除(除数不为零)四则运算畅通无阻。

有理数A和B的顺序:如果a-b是正有理数，则表示当A大于B或B小于A时，记为ab或ba。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集和整数集的一个重要区别是有理数集是稠密的，而整数集是稠密的。按大小顺序排列有理数后，任意两个有理数之间一定还有其他有理数，这就是密度。整数集没有这个特性，所以两个相邻整数之间没有其他整数。

有理数是实数的紧致子集:每个实数都有一个任意接近的有理数。一个相关的性质是，只有有理数才能转化为有限连分式。根据它们的序列，有理数具有有序的拓扑。有理数是实数的(稠密)子集，所以也有sub 空拓扑。

第四，有理数的运算。

添加操作

1.将两个符号相同的数字相加，使用相同的符号作为加数，然后将绝对值相加。

2.将两个符号不同的数字相加。如果绝对值相等，两个数相反的数之和为0；如果绝对值不相等，取具有较大绝对值的加数的符号，并从较大绝对值中减去较小绝对值。

3.将两个数相反的数相加得到0。

4.将一个数加到0上仍然得到这个数。

可以先把两个相反的数相加。

6.符号相同的数字可以先相加。

7.分母相同的数可以先相加。

8.如果几个数可以相加得到一个整数，可以先相加。

减法

减去一个数相当于加上这个数的倒数，也就是有理数的减法转化为加法。

乘法运算

1.同一符号为正，不同符号为负，绝对值相乘。

任何数乘以零都会得到零。

3.将几个不等于零的数相乘。乘积的符号由负因子的数量决定。当有奇数个负因子时，乘积为负，当有偶数个负因子时，乘积为正。

当几个数相乘时，如果一个因子为零，则乘积为零。

5.将不等于零的几个数相乘，先确定乘积的符号，再乘以绝对值。

除法运算

1.除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数。

2.将两个数相除，相同的符号为正，不同的符号为负，然后除以绝对值。用零除以任何不等于零的数得到零。

注意:

(1)零不能用作除数和分母。

(2)有理数的除法和乘法是互逆运算。

(3)做除法时，先根据同号为正，异号为负的规律确定符号，再除以绝对值。如果公式中有一个分数，通常是先把它变成一个假分数来计算。如果不能整除，所有除法运算都转换成乘法运算。

(4)电力运行

1.负数的奇次方为负，负数的偶次方为正。比如:(-2)(2的三次方)=-8，(-2)(2的二次方)=4。

2.正数的任何次数都是正数，正数的任何次数都是零。比如:2(2的二次方)=4，2(2的三次方)=8，0(0的三次方)=0。

零的零次方毫无意义。

4.因为幂是乘法的特例，所以有理数的乘法可以通过有理数的乘法来完成。

5和1的任意次方为1，-1的偶次方为1，奇次方为-1。

被零除的谬误

代数运算中被零除使用不当会导致证明无效:A = B .前提A不等于b。

从:0a=0和0b=0，得到0a=0b。

两边都除以零得到0a/0=0b/0。

化简得到:a = b。

上述谬误假设一个数被0整除是允许的。

什么是有理数？

有理数是整数(正整数，0，负整数)和分数的统称，是整数和分数的集合，即有理数的小数部分是一个有限或无限循环小数。有理数对应的是无理数(不是有理数的实数称为无理数)，其中的小数部分是无限循环数。[1]有理数是数论和代数领域的重要内容之一，在现实生活中也有广泛的应用。是继续学习实数、代数表达式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容及相关学科的基础。“有理数”这个名字令人费解，有理数并不比其他数更“合理”。其实这似乎是翻译上的一个错误。有理数一词来源于西方，在英语中是有理的。理性通常是“理性”的意思。中国按照日本的翻译方法，把近代的西方科学著作翻译成“有理数”。不过这个词来源于古希腊，它的英文词根是ratio，意思是比率(这里的词根是英文，希腊语的意思是一样的)。所以这个词的意思也很明确，就是整数的“比”。相比之下，“无理数”是一个不能精确表示为两个整数之比的数，但也不是没有道理。有理数是整数(正整数，0，负整数)和分数的统称。正整数和分数统称为正有理数，负整数和分数统称为负有理数。因此，有理数集的个数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何整数或分数都可以转化为循环小数，反之亦然，所以每个循环小数也可以转化为整数或分数，所以有理数也可以定义为循环小数。

有理数集是整数集的扩展。有理数集合中，加减乘除(除数不为零)四则运算畅通无阻。

有理数的阶:如果是正有理数，当大于或小于时，记为或。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集和整数集的一个重要区别是有理数集是稠密的，而整数集是稠密的。按大小顺序排列有理数后，任意两个有理数之间一定还有其他有理数，这就是密度。整数集没有这个特性，所以两个相邻整数之间没有其他整数。

有理数是实数的紧致子集:每个实数都有一个任意接近的有理数。一个相关的性质是，只有有理数才能转化为有限连分式。根据它们的序列，有理数具有有序的拓扑。有理数是实数的(稠密)子集，所以也有sub 空拓扑。

什么是有理数和无理数？

1.有理数是“数与代数”领域的重要内容之一，在现实生活中应用广泛，是继续学习实数、代数表达式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容及相关学科的基础。数学上，有理数是整数a与正整数b的比值，比如3/8。一般规律是a/b，0也是有理数。

2.无理数，又称无限无环小数，不能写成两个整数之比。如果用十进制形式写，小数点后有无限多位，不会循环。

常见的无理数有不完全平方数的平方根、π和E(后两者为超越数)。无理数的另一个特点是无穷连分数的表示。无理数是由毕达哥拉斯的一个弟子首先发现的。

扩展数据:

一、有理数的命名由来

“有理数”这个名字令人费解，有理数并不比其他数更“合理”。其实这似乎是翻译上的一个错误。有理数一词来源于西方，在英语中是有理的。理性通常是“理性”的意思。

中国按照日本的翻译方法，把近代的西方科学著作翻译成“有理数”。不过这个词来源于古希腊，它的英文词根是ratio，意思是比率(这里的词根是英文，希腊语的意思是一样的)。

所以这个词的意思也很明确，就是整数的“比”。相比之下，“无理数”是一个不能精确表示为两个整数之比的数，但也不是没有道理。

二、无理数的历史

毕达哥拉斯(约公元前580年至公元前500年)是古希腊伟大的数学家。他证明了许多重要的定理，包括以他的名字命名的勾股定理，即直角三角形的两条右边的面积之和等于以斜边为边的正方形的面积。

毕达哥拉斯熟练运用数学知识后，觉得不能满足于解决问题，于是试图从数学领域扩展到哲学领域，从数的角度解释世界。

经过一番苦练，他提出了“万物皆数”的观点:数的元素是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切都不能用数来表达，数本身就是世界的秩序。

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